Question

Va rog!Dau coroana!va implor!Am nevoie de ajutor!!!
1.Determinati numerele naturale prime a mai mici decat 40 pentru care numarul a²+a+13 este prim.
2.Determinati numerele prime a si b stiind ca:
a)6a+11b=75 ; b)9a+7b=59
3.Determinati numerele prime a,b,c care satisfac relatia : 4a+9b+6c=65
4.Aflati toate numerele de forma abc(cu bara deasupra) daca a·b·c=30
Care dintre aceste numere sunt numere prime?

Answer 1

1) Numerele prime mai mici decat 40 sunt 2;3;5;7;11;13;17;19;23;29;31;37
prin calcul direct relatia este indeplinita de
2²+2+13=19, prim
5²+5+13=43, prim
si
29²+29+13=883, prim


celelate numere prime nu verifica
3²+3+13=12+13=25, divizibil cu 5
7²+7+13=49+30=69, divizibil cu 3
11²+11+13=121+24=145 divizibil cu 5
13²+13+13 , divizibil cu 13
17²+17+13=319 divizibil cu 11

23²+23+13=565divizibil cu 5
31²+31+13=1005 divizibil cu 5

deci
a ∈{2;5;29}


2 a) 6a+11b=75
a= (75-11b)/6 ∈N
verifica doar pt b=3, a=7

2b) )9a+7b=59
b=(59-9a)/7∈N
verifica doar pt a=5, b=2

3)4a+9b+6c≥(4+9+6)*2=19*2=38 cele mai mici valori de numere prime posibile a=b=c=2
Cum 65>38, ecuatia are solutii


Cum 4a+9b+6c=65 este o ecuatia de gradul 1 cu 3 necunoscute, ea admite o dubla infinitate de solutii in R
trebuie sa verificam  solutii in N si numere prime,
  pt.aceasta dam valoarea minima , numar primlui a
a=2,
4*2+9b+6c=65
9b+6c=65-8=57
c=(57-9b)/6 in care b nu poate fi decat 2,3,5
pt b=3, c=5  verifica
pt b=5, c=2

a=2, b=3, c=5

a=2,b=5,c=2
dam lui a urmatoarea valoare numar prim >2,
a=3
4*3+9b+6c=65
9b+6c=65-12=53
c=(53-9b)/6 ∉N, ∀b=2,3,5,7

pta=5
4*5+9b+6c=65
9b+6c=65-20=45

c= (45-9b)/6
pt b=3, c=3 , singura solotie
ptb=5, c=0, dar 0 nu e prim
deci a=5,b=3,c=3

pt a=7
4*7+9b+6c=65
9b+6c=65-28=37
 c=(37-9b)/6
pt b=2,3,5 c∉N
a=11
44+9b+6c=65
9b+6c=21
c=(21-9b)/6 de la b=2, c∉N
a=13
c=(65-52-9b)/6=(13-9b)/6 ∉N, ∀b=2,3,5...9b>13
nu incercam cu valori numere prime≥13 pt a

deci singurele solutii numere natuirale, prime, sunt
(a,b,c) ∈{(2;3;5);(2;5;2); (5;3;3)}


3)a*b*c=30
avem urmatoarele posibilitati
a*b*c=1*6*5=1*3*10=1*1*30 =1*2*15
dar, cum a,b,c∈{1;2;...9} nu e valabila decat prima varianta
cu 3 numere cifra  de aranjat in 3 locuri,  avem 6 posibilitati ( 3!=1*2*3=6 , pt  liceu)
aceste numere sunt:

165,156, 516, 561, 651, 615
Cum suma cifrelor oricaruia dintre numere este 1+6+5=12, inseamna ca aceste numere sunt divizibile cel putin cu 3, deci nici un astfel de numar NU este prim