Question

Va rog din suflet, ajutati-ma macar la un exercitiu.
1) Care este antepenultima cifră a nr. 1•2•3•...•2006•2007?
2) Care este ultima cifră a nr. 1+1•2+1•2•3+1•2•3•4+1•2•3•4•5+...+1•2•3•...•2007?

Answer 1

a) 1·2·3·...·2007=2007!
2007! contine 5!, 15! , 25!, ... , 2005!
5!=·1·2·3·4·5.          Cum 1·2·3·4 conține un număr par⇒1·2·3·4 este un număr par.Deci ultima cifră a numărului 5! este 0.(Un număr par înmulțit cu 5 va avea ultima cifră 0).
15!=1·2·3·...·15.            Cum 1·2·3·4·...·14 conține un număr par⇒14! este număr par.Deci ultima cifra a numarului 15! este 0.
..........................................................................................
..........................................................................................
De unde rezultă că ultima cifră a numărului 2005! este 0.
Începând de la 5!·6·7·...·2007=120·6·7·...·2007.
Cum umărul 6·7·8·...·2007 este un număr foarte mare ⇒ antepenultima cifră a numarului 2007! este 0.
b)1+1·2+1·2·3+...1·2·3·4·...·2007=1!+2!+3!+...+2007!
ultima cifra a numarului 1!+2!+3!+...+2007!=u(1!)+u(2!)+u(3!)+...+u(2007!).
Fie  5≤n≤2007. Atunci n!=1·2·3·4·5·...·n=120·...·n care are ultima cifra 0.Deci de la 5! pana la 2007! ultima cifră va fi 0.
Cum ultima cifra a numărului 1!+2!+3!+4!+...+2007!este u(1!)+u(2!)+u(3!)+...+u(2007!)=u(1!)+u(2!)+u(3!)+u(4!)+0+0+0+0+...+0=1+2+6+4=11⇒ultima cifră a numărului 1+1·2+1·2·3+...+1·2·3·...·2007 este 1.
Sper că te-am ajutat.