Question

VA ROG !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Dreptele OA , OB si OC sunt perpendiculare doua cate doua , OA⊥OB⊥OC⊥OA si OA= 12√2 CM.
Aflati :
a) distanta de la A la M ; M∈BC
b)distanta lui O la planul (ABC)
c)distanta de la C la planul (AOM)
d) Daca N∈Ac , AN=NC, stabiliti pozitia dreptei MN fata de planul (AOB)

Answer 1

Daca OA=OB=OC     => AB=BC=AC=12√2X√2=24

a) Cum ABC este echilateral  => M se afla la mijlocul lui BC  adica BM=12
Atunci AM=√(AB^ - BM^)=√(576-144)=12√3

b) Fie P proiectia lui O pe planul ABC.
Cum OA=OB=OC si ABC echilateral  => punctul P se afla la intersectia inaltimilor triunghiului ABC  deci puntul P se afla pe AM la 2 treimi fata de varf. Adica  AP=AMx2/3=12√3x2/3=8√3.
Cum AOP este triughi dreptunghic si OA ipotenuza acestui triunghi =>
OP=√(OA^2 - AP^2 )=√(288-192)=√96=4√6

c)  Daca Q este proiectia lui C pe planul AOM atunci
volumul piramidei CAOM este V(CAOM)=CQ xS(AOM)/3
dar V(CAOM)=V(OABC)/2=OPxS(ABC)/3/2
CQ x/3=OPxS(ABC)/3/2
CQ=OPxS(ABC)/(2XS(AOM))
S(ABC)=BCxAM/2=24x4√6/2=48√6
Cum BOC isoscel dreptunghic => OM=BC/2=12
S(AOM)=AOxOM/2=12√2 x12/2=72√2
 CQ=4√6 x 48√6/(2x72√2)=1152/(144√2)=8/√2=4√2


d) cum CM=CN   si AC=BC  => triunghiurile ACB si NCM sun asemenea
=> MN||AB  => MN paralel cu planul AOB