Question

Va rog, e o urgenta, chiar nu îmi dau seama cum trebuie sa fac

Answer 1

V2 se refera la 2 puncte adic avem punctele A1 si A2
vom avea 2 vectori A1A2 si A2A1 multimea Vectorilor pt 2 puncte, V2 are 2 eklemente
 (obs ; se verifica formula de la c) pt cazul particular n=2 ; 2²-2=4-2=2, vezi desen

V4 vom avea 4 puncte si vectorii A1A2, A1A3, A1A4,  A2VA3  A2A4  A3A4
 si vectorii opusi                              A2A1  A3A1.........................................A4A3
 
in total 6+6=12 vectori ...observam ca si in acest caz se verifica formula propusa la punctul c)
4²-4=16-4=12 vectori

Multimea V4 are deci 12 elemente



V10 avem punctele A1, A2, .......A9, A10
punctul A1 se va uni cu punctele A2, A3, ...A9 deci in total 9 vectori
Punctul A2 se va uni cu punctele A1, A3......A9  in total 9 vectori
............................................................................................................
Punctul A10 se va uni cu punctele A1, A2....A9  in total 9 vectori
deci in total avem (+9+9+...+9) de 10 ori =10*9=90 de vectori

Multimea V10 are 90 elemente
 Observam ca si incest caz  se verifica formula propusa la punctul c) 10²-10=100-10=90   

Observatie  au aparut si perechile de  vectori opusi cum ar fi A1A2 si A2A1, atunci cand am unit pe A1 cu A2 si , respectiv pe A2 cu A1
 Pe desen nu am figurat toti vectorii ci doar cei de contur si cei  cu originea si , respectiv, cu varful in A1

c)
Am verificat la punctele a) si b) formula pt 2,4 si 10 puncte
 Presupunem ca pt n puncte avem n²-n=  n(n-1) vectori datide punctele A1,A2...An, deci este adevarata  formula

 al (n+1)-lea punct , An+1 va da noi vectori  unindu-se cu restul de "n " puncte deja prezente si va da " 2 n" vectori  ( "n" vectori cu originea in acest nou punct ,An+1 si" n" vectori cu varful in acest punct; vezi desen)
 
deci la cei n(n-1) vectori , presupusi adevarati se vor adauga 2n vectori, rezultand in final
 n(n-1)+2n= n( n-1+2)=n(n+1) =(n+1) *n = (n+1) (n+1-1), = (n+1) ²-(n+1)
formula este verificata prin inductie


Observatie formula este corspondenta in geometria plana a numarului dreptelor care trec prin n puncte coplanare, oricare 3 necoliniarea; n(n-1)/2 , pt ca acolo sensul nu schimba dreapta (dreota are o directia dar 2 sensuri, avem de 2 ori mai putine drepte ecat sensuri)
sau a formulei numarului (Combinari de n luate cate 2) din combinatorica