Question

Va rog........e urgent

Answer 1

$S_1= \frac{1}{1*3}+\frac{1}{3*5}+....+\frac{1}{57*59} \\\\\\ \frac{1}{1*3}=\frac{1}{1}- \frac{1}{3} \\\\ \frac{1}{3*5}=\frac{1}{3}-\frac{1}{5} \\\\ ------\\\\ \frac{1}{57*59}=\frac{1}{57}-\frac{1}{59}$


Se simplifica pe diagonala numerele pozitive cu cele negative si se obtine:

$S_1=1^{(59}-\frac{1}{59}= \frac{59-1}{59} \\\\\\ \boxed{S_1=\frac{58}{59}}$


Se aplica acelasi procedeu si pentru S2 si se obtine:
$S_2= 1^{(101}-\frac{1}{101}= \frac{101-1}{101} \\\\\\ \boxed{S_2=\frac{100}{101}}$

Answer 2

NOTĂ: Se mai adaugă nişte nr., respectând condiţia, pentru a permite                      ,, înţelerii să iasă învingătoare" !
            P= pas de rezolvare

ex. S₁
   

 _1_    +   _1_     + _ 1_   +   _ 1_      +     .....    +  _ 1_       = 
 1·3          3·5          5·7         7·9                           57· 59

P₁: Se scrie fiecare numărător ca diferenţa nr. de la numitor!

 _3- 1_  +  _5- 3_   + _7- 5_   + _ 9- 7_ +  ..... +_59-57_  = 
    1·3           3·5          5·7             7·9                  57·59     

P₂: Se trece fiecare nr. de la numărător pe numitor!

_3_  ₋  _1_ + _5_  - _3_   +_7_ - _5_  + _ 9_ - _7_  +....+ _59_   -_57_     =
 1·3     1·3    3·5     3·5     5 ·7     5·7      7·9    7·9            57·59   57·58

P₃: Se simplifică numărătorul cu numitorul!

_3_  ₋  _1_ + _5_  - _3_   +_7_ - _5_  + _ 9_ - _7_+....+ _59_   -_57_      =                      1·3      1·3     3·5     3·5     5 ·7     5·7      7·9    7·9         57·59   57·59

OBSERVĂ!

P₄: Se reduc termenii opuşi!   

1  ₋ _ 1_  + _ 1_   - _1_ +  _1_ - _1_ + _1_ + ... +_1 _ - _ 1_   = 
          3         3          5         5       7        7              57      59

1 -  _1_    = 
       59 

P₅: Se aduce la acelaşi numitor!

_59 -  1_      =
     59

P₆: Se rezolvă!   
    
_58_
  59

 P₇: Se reia exerciţiul! ( Glumesc sau e alegerea ta ...)

ex. S₂

_1_ + _1_ + _1_ + ... + _1____  =
1·4     4·7     7·]0           97·100

Observaţie! Se aplică aceeaşi paşi!

p₁:

p₂:

p₃:

p₄:  1 -   _1_

                100   

p₅: _100 - 1_

            100

p₆ : _99_

        100

p₇:  ....