Question

Va rog eu de 2 zile incerc sa rezolv problema asta :(

In paralelogramul ABCD, AA' este bisectoarea unghiul DAB, A' apartine BD si CC' este bisectoarea unghiului BCD, C' apartine BD. Aratati ca AA'CC' este paralelogram.

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Vezi figura

Prelungim pe AA' si notam cu M intersectia cu DC

Prelungim pe CC' si notam cu N intersectia cu AB

Notam cu O intersectia lui AC cu BD

ABCD  = paralelogram, O este intersectia diagonalelor ⇒ AO ≡ OC (1)

ABCD este paralelogram, atunci unghiurile ADC si DAB sunt suplementare, deci m(∡ADC) + m(∡DAB) = 180°

dar AM este bisectoarea lui DAB

deci m(∡DAM) = m(∡DAB) / 2

in Δ ADM, suma unghiurilor este 180°

m(∡ADM) + m(∡DAM) +  m(∡DMA)= 180° = m(∡ADC) +  m(∡DAB)

asadar:

m(∡DAB) / 2 +  m(∡DMA) =  m(∡DAB)

⇒  m(∡DMA) = m(∡DAB) / 2  = m(∡DAM)

⇒  Δ ADM este isoscel

⇒ AD ≡ DM

similar, pe partea cealalta, demonstram ca BN ≡ BC :

m(∡ABC) + m(∡DCB) = 180°

dar CN este bisectoarea lui DCB

deci m(∡BCN) = m(∡BCD) / 2

in Δ BCN, suma unghiurilor este 180°

m(∡CBN) + m(∡BCN) +  m(∡BNC)= 180° =  m(∡ABC) + m(∡DCB)

asadar:

m(∡BCD) / 2 +  m(∡BNC) =  m(∡BCD)

⇒  m(∡BNC) = m(∡BCD) / 2  = m(∡BCN)

⇒  Δ CBN este isoscel

⇒ BN ≡ BC ≡ AD ≡ DM

⇒ DM ≡ NB

cum AB ≡ DC (ABCD este paralelogram) ⇒ MC = DC - DM = AB - NB = AN

⇒ MC ≡ AN

dar MC // AN  ⇒ MCNA  = paralelogram ⇒ AM // CN ⇒ AA' // CC' (2)

MCNA  = paralelogram  ⇒ AM ≡ NC. cum AN ≡ MC si AC = latura comuna, ⇒

Δ AMC ≡ Δ ACN (caz LLL) ⇒ ∡MAC ≡ ∡ NCA

⇒  ∡A'AO ≡ ∡C'CO

din (1) avem ca AO ≡ OC

si cum ∡AOA' ≡ ∡COC' (opuse la varf)

⇒ΔAOA' ≡ ΔCOC' (caz ULU)

⇒ AA' ≡ CC'

din (2) ⇒ AA' // CC'

⇒ AA'CC' = paralelogram.