Question

va rog ex 2 punctul b)

Answer 1

Răspuns

2√3 -1 ∈ R - Q (Adevarat)

Explicație pas cu pas:

$\sqrt{3} + \sqrt{4-2\sqrt{3} } = \sqrt{3} +\sqrt{1^{2} -2\sqrt{3}+\sqrt{3}^2  } = \sqrt{3} +\sqrt{(\sqrt{3}-1 )^2}=\sqrt{3}  +\sqrt{3} -1 = 2\sqrt{3} -1$  ⇒

2√3 -1 ∈ R - Q (Adevarat)

Answer 2

Răspuns

Explicație pas cu pas:

√3+rad. (4-√3)=√3+rad. (4-√12)=√3+√[(4+2)/2]-√[(4-2)/2]=

=√3+√3-1=2√3-1;  dar √3∈(R-Q)

Aratam ca √3∉Q

Pp. ca √3∈Q => exista a/b∈Q  unde a, b∈Z si (a, b)=1.  

=> (√3)²=(a/b)²  <=>  3=a²/b²  => a²=3b² => 3|a² =>3|a  => a=3k (1) k∈Z

3/1=a²/b² => <=> (3k)²/b²=3/1  <=>  b²=3k²   => 3|b²  => 3|b  => b=3q  (2) q∈Z

Avem 3|a si 3|b  adica (a, b)≠1 ceea ce contrazice presupunerea ca (a, b)=1

=> √3∈(R-Q)  

=> 2·√3 ∈(R-Q)   => 2·√3-1 ∈(R-Q)