Question

Va rog foarte mult! dau 55 de puncte!!!! Va rog rezolvarea sa fie de completa (nu doar rezultatul final) si de nivel de clasa a-VI-a!!!!!!
Un mobil parcurge distanta dintre doua localitati A si B, astfel: de la A la B, jumatate din durata deplasarii cu viteza v1, iar cealalta jumatate , cu viteza v2; de la B la A , pe jumatate din distanta parcursa cu v1 , iar pe cealalta jumatate din distanta parcursa, cu viteza v2.
a) In care caz viteza medie este cea mai mare? (Aplicatie numerica: v1=4 m/s; v2=21,6km/h;
b) Daca durata totala a miscarii de la A la B este de o ora, cat va fi durata totala a miscarii de la B la A?
c) Care este distanta dintre A si B?

Answer 1

Nu cunosc programa de a VIa dar nu e vorba despre lucruri grele, ci numai de puterea de a abstractiza.[ La pct.a) de aceea se da aplicatie numerica pentru ca probabil e greu sa se demonstreze care fractie e mai mare!]. Asadar:
Mobilul se misca de la A la B folosind viteze diferite, V1 si V2, pentru jumatate din timpul T cat parcurge distanta.
S = V1T/2 + V2T/2 = (V1 + V2)T/2. Viteza medie Vm1 = S/T =(V1 + V2)T/ 2T = (V1 + V2)/2  [*]
Apoi mobilul se misca de la B la A pe jumatate din distanta cu aceleasi viteze V1 si V2 
t1 =S/2V1 si t2 = S/2V2 care insumate dau timpul T necesar intoarcerii (Atentie, nu este acelasi cu T din prima situatie)
T = S/2 x (1/V1 + 1/V2) = S/2 x (V1 + V2)/ V1V2  [**] Viteza medie va fi tot S/T si obtinem: Vm2 = S impartit la T[**].  In final se obtine: Vm2 = 2xV1V2/(V1 + V2) [***].
Daca vom compara [*] cu [***] nu putem spune prea multe dar avem aplicatia numerica unde V1 = 4m/s si V2 = 21,6 km/h sau 6 m/s. Pentru [*] obtinem Vm1 = (4 + 6)/2 = 5 m/s iar pentru Vm2 = (2 x 4 x 6) / (6 + 4) = 4,8 m/s. 
b). De la A la B se misca o ora si va parcurge, asa cum am vazut distanta de S = Vm1 x 1h si aceasta distanta o va parcurge inapoi cu Vm2 in timpul t = S / Vm2.
t = (V1 + V2)/2 totul de impartit la[***]  2 x V1V2/ (V1 + V2). In final se ajunge la (V1 + V2)² / 4V1V2 [****]care este timpul de intoarcere dupa parcurgerea distantei AB timp de o ora la ducere.

Daca vrem sa aplicam valorile de mai inainte vom avea V1 =4m/s, adica 14,4 km/h si V2 = 21,6 km/h  cu Vm1 = (14,4 +21,6)/2 = 36/2 = 18 km/h Intr-o ora face 18 km si la intoarcere face t = 36²/4×14,4 ×21,6 = 9×36 : 14,4 ×21,6 = 324 : 311,04 = 1,041(6) ore (cam 1h 2' 27")
c). Daca intrebarea nu se refera la aplicatie distanta de la A la B poate fi oricare. Este functie de viteze si timpii alocati.

Answer 2

a)
Viteza medie se obtine impartind distanta totala la timpul total de parcurgere al distantei totale.
Noi trebuie sa o calculam la dus si, separat, la intoarcere.
Deci, pentru a putea calcula viteza medie la dus (hai sa o notam cu vm1) si la intoarcere (sa o notam cu vm2) avem nevoie de distanta AB si de timpul t1 de parcurgere a distantei AB la dus si, de asemenea, de timpul t2 de parcurgere a aceleiasi distante BA la intoarcere.  
Sa incepem cu calculul lui vm1, viteza medie la dus
Deci notam durata deplasarii la dus cu t1. Atunci , jumatate din durata deplasarii va fi t/2.
Acum, sa notam distanta de la A la B cu d iar distanta parcursa cu prima viteza, v1 s-o notam cu d1.
Atunci prima portiune la ducere, d1, va putea fi calculata astfel:
d1=v1×t1/2
Atunci, daca prima portiune am notat-o cu d1, cealalta portiune parcursa cu viteza v2 o notam cu d2.
Atunci o putem calcula si pe ea:
d2=v2×t1/2
Dar d1+d2=d, distanta de la A la B.
Inseamna ca
d=d1+d2=v1×t1/2+v2×t1/2
Putem sa dam factor comun pe t1/2:
d=(v1+v2)×t1/2. Deci avem distanta d.
Avem si timpul de parcurgere a ei care este t1.
Inseamna ca putem calcula prima viteza medie, cea de la dus, de la A la B:
vm1=d/t1=[(v1+v2)×t1/2]/t1=(v1+v2)×t1/2t1.
Acum putem simplifica cu t1(ca oricum nu-l cunosteam, de fapt).
Atunci, dupa simplificare, obtinem viteza medie la dus:
vm1=(v1+v2)/2
Sa calculam acum si pe vm2 viteza medie la intoarcere!
Distanta AB, egala cu BA, am notat-o cu d. Presupunem ca o cunoastem. Ea ne va trebui la calcularea vitezei medii vm2.
Atunci jumatatea ei va fi d/2.
Sa notam timpul total de intoarcere cu t2.
Iar cu t2' sa notam timpul cat mobilul se intoarce cu viteza v1 si cu t2'' timpul cat mobilul se intoarce cu viteza v2.
Calculam timpul t2':
t2'=(d/2)/v1=d/2v1
Similar, timpul t2'' va fi :
t2''=(d/2)/v2=d/2v2
Atunci, timpul total de intoarcere t2 va fi :
t2=t2'+t2''=d/2v1+d/2v2
Aducem la acelasi numitor, amplificand prima fractie cu v2 si pe adoua cu v1:
t2=(dv2+dv1)/2v1v2
Dam factor comun, la numarator, pe d:
t2=d(v1+v2)/2v1v2
Acum, calculam viteza medie la intoarcere:
vm2=d/t2
vm2=d/[d(v1+v2)/2v1v2]. Putem simplfica cu d.
Obtinem:
vm2=1/[(v1+v2)/2v1v2]
Aplicam, proprietatea transformarii impartirii unui numar la o fractie in inmultirea numarului cu fractia rasturnata:
vm2=1×[2v1v2/(v1+v2)]=2v1v2/(v1+v2)
Acum, dupa ce am obtinut expresiile celor doua viteze medii, vm1 si vm2, le putem compara  folosind aplicatia numerica.
v1=4m/s
v2=21,6km/h=21600m/3600s=21,6/3,6m/s=6m/s
v2=6m/s
vm1=(v1+v2)/2=(4+6)/2=10/2=5m/s
vm2=2v1v2/(v1+v2)=2×4×6/(4+6)=48/10=4,8m/s
vm1=5m/s
vm2=4,8m/s
Observam ca vm1>vm2
Viteza medie la ducere este mai mare.
b)
Ni se spune ca t1=1h=3600s
Noi am calculat viteza medie vm1 la dus:
Conform definitiei, viteza medie este obtinuta impartind distanta la timpul de parcurgere a ei: Deci:
vm1=d/t1⇒d=vm1×t1
d=5×3600=18000m
Dar vm2=d/t2
Inseamna ca timpul de intoarcere t2 va fi :
t2=d/vm2=18000/4,8
Inseamna ca t1/2=1800s
Putem calcula distanta d' parcursa cu viteza v1
d'=v1×t1/2=4×1800=7200m
Putem sa calculam si distanta d'' parcursa cu viteza v2:
d''=v2×t1/2=6×1800=10800m
Atunci, distanta totala dintre A si B , am notat-o cu d, va fi:
d=d'+d''=7200+10800=18000m
Cunoastem viteza medie la intoarcere, vm2=4,8m/s
vm2=d/t2  ⇒t2=d/vm2  ⇒t2=18000/4,8=3750s
t2=3750s=1h si 150s=1h2min30s
c)
Distanta d am calculat-o deja
d=18000m=18km