Va rog frumos 3,4 . dau coroana si 15 pct.
Anexe:
Răspunsuri la întrebare
Răspuns de
0
3.
a) 15n + 7 nu poate fi patrat perfect, pentru ca ultima cifra a lui 15n + 7 poate fi doar 7 sau 2, iar patratele perfecte se pot termina doar cu una din cifrele 0, 1, 4, 5, 6, 9.
Deci radical din 15n + 7 nu poate fi numar natural.
b) radical(5n + 6) poate fi natural -- de exemplu pentru n = 2, radical(5n + 6) = radical(16) = 4.
=====
4.
Sa notam cu N = 1 * 2 * ... * 10 + 5, si sa aratam ca el nu e patrat perfect.
Presupunem prin absurd ca N este patrat perfect, adica exista A astfel incat:
N = A * A.
N este divizibil cu 5, inseamna ca si A este divizibil cu 5, adica A este de forma:
A = 5 * B.
Obtinem deci ca N = (5 * B) * (5 * B) = 25 * B * B. (1)
Adica N este divizibil cu 25.
Primul termen din definitia lui N, adica produsul de numere de la 1 la 10 este divizibil cu 25, pentru ca acel produs contine si numerele 5 si 10 (deci doua numere divizibile cu 5, al caror produs e divizibil cu 25).
Deci N = 1 * 2 * ... * 10 + 5 = 25 * K + 5. (2)
Folosind relatiile (1) si (2), obtinem:
25 * K + 5 = 25 * B * B =>
5 = 25 * (K - B * B).
Adica 5 este multiplu de 25 (am obtinut 5 = 25 * ceva), contradictie!
Am obtinut o contradictie, inseamna ca N nu e patrat perfect, deci acel radical nu este numar rational.
a) 15n + 7 nu poate fi patrat perfect, pentru ca ultima cifra a lui 15n + 7 poate fi doar 7 sau 2, iar patratele perfecte se pot termina doar cu una din cifrele 0, 1, 4, 5, 6, 9.
Deci radical din 15n + 7 nu poate fi numar natural.
b) radical(5n + 6) poate fi natural -- de exemplu pentru n = 2, radical(5n + 6) = radical(16) = 4.
=====
4.
Sa notam cu N = 1 * 2 * ... * 10 + 5, si sa aratam ca el nu e patrat perfect.
Presupunem prin absurd ca N este patrat perfect, adica exista A astfel incat:
N = A * A.
N este divizibil cu 5, inseamna ca si A este divizibil cu 5, adica A este de forma:
A = 5 * B.
Obtinem deci ca N = (5 * B) * (5 * B) = 25 * B * B. (1)
Adica N este divizibil cu 25.
Primul termen din definitia lui N, adica produsul de numere de la 1 la 10 este divizibil cu 25, pentru ca acel produs contine si numerele 5 si 10 (deci doua numere divizibile cu 5, al caror produs e divizibil cu 25).
Deci N = 1 * 2 * ... * 10 + 5 = 25 * K + 5. (2)
Folosind relatiile (1) si (2), obtinem:
25 * K + 5 = 25 * B * B =>
5 = 25 * (K - B * B).
Adica 5 este multiplu de 25 (am obtinut 5 = 25 * ceva), contradictie!
Am obtinut o contradictie, inseamna ca N nu e patrat perfect, deci acel radical nu este numar rational.
Răspuns de
0
3)
a)
√(15n+7)
Notam E=15n+7.
Ne propunem sa determinam ultima cifra a expresiei aflate sub radical, adica a numarului E.
Pentru asta, vom inlocui numeric n cu cateva cifre pana observam o repetitie.
Daca n=0 => E=15*0+7=7
Daca n=1 => E=15*1+7=15+7=22
Daca n=2 => E=15*2+7=30+7=37
Daca n=3 => E=15*3+7=45+7=52
Deci observam ca ultima cifra a numarului E este alternativa intre 7 si 2.
Din teorie, stim ca un numar poate fi patrat perfect daca se termina in 0,1,4,5,6 si 9.
Aceasta serie de numere nu include numerele 2 si 7, deci E nu are cum sa fie patrat perfect.
Daca E nu este patrat perfect, atunci nu exista n∈N astfel incat √(15n+7) sa fie un numar natural.
b)
Mergem pe acelasi principiu de rezolvare.
√(5n+6)
Notam M=5n+6.
Ne propunem sa determinam ultima cifra a expresiei aflate sub radical, adica a numarului M.
Pentru asta, vom inlocui numeric n cu cateva cifre pana observam o repetitie.
Daca n=0 => M=5*0+6=6
Daca n=1 => M=5*1+6=5+6=11
Daca n=2 => M=5*2+6=10+6=16
Daca n=3 => M=5*3+6=15+6=21
Deci observam ca ultima cifra a numarului M este alternativa intre 1 si 6.
Din teorie, stim ca un numar poate fi patrat perfect daca se termina in 0,1,4,5,6 si 9.
Aceasta serie de numere include numerele 1 si 6, deci M poate fi patrat perfect.
Daca M poate fi patrat perfect, atunci exista n∈N astfel incat √(5n+6) sa fie un numar natural.
Si putem avea cateva exemple:
Daca n=6 => M=√(5*6+6)=√36=6
Daca n=23 => M=√(5*23+6)=√(115+6)=√121=11
4)
Avem 2 metode de rezolvare posibile: fie vedem care este cantiatea din care se extrage radicalul (fiind numere relativ mici putem face operatiile de acolo) si vedem daca radicalul este sau nu un numar din Q, fie demonstram prin metoda presupunerii ca acel radical nu este un numar rational.
Metoda 1:
√(1*2*3*.....*10+5)=√(3628800+5)=√3628805=1904,9422... si nu este numar rational.
Metoda 2:
Presupunem ca expresia E=1*2*3*....*10+5 este un patrat perfect.
Daca E=1*2*3*....*10+5 este patrat perfect, atunci E s-ar putea scrie sub forma E=n*n.
Produsul 1*2*3*....*10 se termina in doua zerouri (unul provine de la inmultirea 2*5 si al doilea de la inmultirea tuturor numarelor anterioare cu 10). Acest lucru garanteaza faptul ca produsul 1*2*3*...*10 este divizibil cu 5 si, totodata, este dizibil si cu 25. Deci E ar fi de forma:
E=25*k₁+5
Observam ca ultima cifra a numarului E este 5, deci numarul E este divizibil cu 5 si se poate scrie sub forma E=5*k. Daca E este divizibil cu 5, atunci implicit si n este divizil cu 5, deci E ar fi de forma:
E=n*n=(5*k₂)²=25k₂²
De aici tragem concluzia ca E este divizibil cu 25.
Dar cum expresia E este aceeasi obtinem ca:
25k₁+5=25k₂²
Facem calculele care se impun si avem:
25k₁-25k₂²=5
25(k₁-k₂²)=5
Daca notam k₁-k₂=m, obtinem: 25m=5.
De aici putem concluziona ca 5 este multiplu de 5.
Dar 5 nu poate fi multiplu de 25, ci doar 25 poate fi multiplu de 5 (5 fiind mai mic decat 25). Astfel obtinem o contradictie ce garanteaza ca presupunerea initiala este falsa.
Astfel, expresia E=1*2*3*....*10+5 nu poate fi patrat perfect.
Daca E=1*2*3*....*10+5 nu este patrat perfect, inseamna ca:
√E=√(1*2*3*....*10+5) nu este numar rational.
PS: Am incercat sa iti scriu cat am putut de detaliat ca sa intelegi despre ce e vorba. Pentru orice neclaritati, astept mesajul tau.
a)
√(15n+7)
Notam E=15n+7.
Ne propunem sa determinam ultima cifra a expresiei aflate sub radical, adica a numarului E.
Pentru asta, vom inlocui numeric n cu cateva cifre pana observam o repetitie.
Daca n=0 => E=15*0+7=7
Daca n=1 => E=15*1+7=15+7=22
Daca n=2 => E=15*2+7=30+7=37
Daca n=3 => E=15*3+7=45+7=52
Deci observam ca ultima cifra a numarului E este alternativa intre 7 si 2.
Din teorie, stim ca un numar poate fi patrat perfect daca se termina in 0,1,4,5,6 si 9.
Aceasta serie de numere nu include numerele 2 si 7, deci E nu are cum sa fie patrat perfect.
Daca E nu este patrat perfect, atunci nu exista n∈N astfel incat √(15n+7) sa fie un numar natural.
b)
Mergem pe acelasi principiu de rezolvare.
√(5n+6)
Notam M=5n+6.
Ne propunem sa determinam ultima cifra a expresiei aflate sub radical, adica a numarului M.
Pentru asta, vom inlocui numeric n cu cateva cifre pana observam o repetitie.
Daca n=0 => M=5*0+6=6
Daca n=1 => M=5*1+6=5+6=11
Daca n=2 => M=5*2+6=10+6=16
Daca n=3 => M=5*3+6=15+6=21
Deci observam ca ultima cifra a numarului M este alternativa intre 1 si 6.
Din teorie, stim ca un numar poate fi patrat perfect daca se termina in 0,1,4,5,6 si 9.
Aceasta serie de numere include numerele 1 si 6, deci M poate fi patrat perfect.
Daca M poate fi patrat perfect, atunci exista n∈N astfel incat √(5n+6) sa fie un numar natural.
Si putem avea cateva exemple:
Daca n=6 => M=√(5*6+6)=√36=6
Daca n=23 => M=√(5*23+6)=√(115+6)=√121=11
4)
Avem 2 metode de rezolvare posibile: fie vedem care este cantiatea din care se extrage radicalul (fiind numere relativ mici putem face operatiile de acolo) si vedem daca radicalul este sau nu un numar din Q, fie demonstram prin metoda presupunerii ca acel radical nu este un numar rational.
Metoda 1:
√(1*2*3*.....*10+5)=√(3628800+5)=√3628805=1904,9422... si nu este numar rational.
Metoda 2:
Presupunem ca expresia E=1*2*3*....*10+5 este un patrat perfect.
Daca E=1*2*3*....*10+5 este patrat perfect, atunci E s-ar putea scrie sub forma E=n*n.
Produsul 1*2*3*....*10 se termina in doua zerouri (unul provine de la inmultirea 2*5 si al doilea de la inmultirea tuturor numarelor anterioare cu 10). Acest lucru garanteaza faptul ca produsul 1*2*3*...*10 este divizibil cu 5 si, totodata, este dizibil si cu 25. Deci E ar fi de forma:
E=25*k₁+5
Observam ca ultima cifra a numarului E este 5, deci numarul E este divizibil cu 5 si se poate scrie sub forma E=5*k. Daca E este divizibil cu 5, atunci implicit si n este divizil cu 5, deci E ar fi de forma:
E=n*n=(5*k₂)²=25k₂²
De aici tragem concluzia ca E este divizibil cu 25.
Dar cum expresia E este aceeasi obtinem ca:
25k₁+5=25k₂²
Facem calculele care se impun si avem:
25k₁-25k₂²=5
25(k₁-k₂²)=5
Daca notam k₁-k₂=m, obtinem: 25m=5.
De aici putem concluziona ca 5 este multiplu de 5.
Dar 5 nu poate fi multiplu de 25, ci doar 25 poate fi multiplu de 5 (5 fiind mai mic decat 25). Astfel obtinem o contradictie ce garanteaza ca presupunerea initiala este falsa.
Astfel, expresia E=1*2*3*....*10+5 nu poate fi patrat perfect.
Daca E=1*2*3*....*10+5 nu este patrat perfect, inseamna ca:
√E=√(1*2*3*....*10+5) nu este numar rational.
PS: Am incercat sa iti scriu cat am putut de detaliat ca sa intelegi despre ce e vorba. Pentru orice neclaritati, astept mesajul tau.
baiatulcool007:
multumesc foarte mult!!!
Cu drag!
Buna adrianalitcanu2018! Sunt nou pe site si nu cunosc eu obiceiurile :) -- dar mi se pare ciudat faptul ca solutiile noastre sunt foarte asemanatoare -- nu zic cu rautate, dar cred ca ar fi fost frumos sa spui ceva de felul "solutia lui qwerty235 este si ea corecta si foarte similara cu cea descrisa aici, scriu totusi mai detaliat pentru a ma asigura ca se intelege". Altfel, raspunsul tau e frumos scris si cred ca ai talent pedagogic, o zi buna!
Buna! Raspunsurile sunt asemanatoare, intr-adevar, deoarece aceste exercitii merg pe acelasi tipar. Este o modalitate de rezolvare care are un algoritm de rezolvare. Aceste rezolvari se invata, daca nu ma insel, in clasa a sasea sau a saptea. La acel moment lectia se preda si exercitiile merg pe acelasi algoritm. Exact cum se extrage si radicalul dintr-un numar.
Sunt pasi de efectuat in rezolvare. Mie nu imi place sa copiez rezolvarile altora (nu am motiv sa o fac) dar am promis ca voi face si eu o redactare la aceste exercitii in urma unui mesaj in privat. Dupa ce am scris rezolvarea am vazut si postarea cealalta si am apreciat raspunsul ca fiind unul foarte bun. Eu tin minte cand eram in generala am primit "o serie de pasi" pentru a redacta astfel de rezolvari.
Scopul meu pe site este sa ii ajut pe cei din jur care au nevoie. Scuze daca te-a deranjat. Dar nu a fost cu nicio intentie rea si mai mult decat atat nu a fost plagiat in ciuda asemanarii celor doua rezolvari. Daca vrei sa imi raportezi raspunsul poti sa o faci, nu ma supar. Nu rezolv pentru puncte, ci doar datorita faptului ca imi place sa ajut si sa rezolv diverse exercitii la mate. Si multumesc, totodata, pentru remarca cu talentul pedagogic. O zi frumoasa!
Multumesc pentru raspunsul detaliat, nu sunt vreun pic suparat (nici la inceput nu am fost, de fapt). Ceea ce nu stiam, sau nu imi mai aminteam eu, este faptul ca abordarea aceea e standard si prezentata in clasele de gimnaziu (daca as fi stiut nu as fi scris comentariul). O zi frumoasa!
Alte întrebări interesante
Chimie,
8 ani în urmă
Biologie,
8 ani în urmă
Biologie,
8 ani în urmă
Matematică,
9 ani în urmă
Limba română,
9 ani în urmă
Limba română,
9 ani în urmă
Matematică,
9 ani în urmă