Question

Va rog frumos!...... ​

Answer 1

Cerinta:

"Împartind numerele 2012,1429,1080, in aceasta ordine, la acelasi numar natural n se obtin ca resturi trei numere naturale impare consecutive, in ordine crescatoare. Sa se afle numarul n."

     Rezolvare:

Teorema impartiiri cu rest spune asa:

D = ηC + R,    0 ≤ R < Î

D - dempartitul; Î - împărțitor, C- cat, R - rest

aplicam teorema impartirii cu rest si vom avea:

2012  = n·c₁ + r

1429 = n·c₂ + (r + 2)

1080 = n·c₃ + (r + 4)      n ∈ IN* , r < n, r - impar

scadem din prima relatie pe a II a si apoi din a II a o vom scadea pe a III a

2012  = n·c₁ + r

1429 = n·c₂ + (r + 2)        

2012 - 1429 = n(c₁ - c₂) + r - (r +2)

583 = n(c₁ - c₂) + r - r - 2

583 = n(c₁ - c₂) - 2

585 = n(c₁ - c₂)   relatia (1)

1429 = n·c₂ + (r + 2)

1080 = n·c₃ + (r + 4)          

1429 - 1080 = n(c₂ - c₃) + (r + 2) - (r +4)

349 = n(c₂ - c₃) + r + 2 - r - 4

349 = n(c₂ - c₃) - 2

351 = n(c₂ - c₃)   relatia (2)

din (1) si (2) avem ca n = (351, 585)

351 = 3³·13

585 = 3²·5·13   ⇒ cmmdc = 3²·13 = 117;  D₁₁₇ = {3, 9, 13, 39, 117}

2012 = 39 · (3 ·17) + 23

1429 = 39 · (3 ·12) + 25

1080 = 39 · (3 ·9) + 27

2012 = 117 · 17 + 23

1429 = 117 · 12 + 25

1080 = 117 · 9 + 27

39 > r; 117 > r ⇒ n ∈ {39; 117}