Question

va rog frumos ajutati-ma dar daca tot vreti sa ma ajutati raspundeti-mi matematic si corect si lung pe intelesul tuturor , luni dau test si nu stiu nimic.
1 . Rombul ABCD , cu m(<BAD) = 102 GRADE, si triunghiul dreptunghic EAB cu m(<EAB) = 90 GRADE , au interioarele disjuncte . Aratati ca triunghiul EDC este isioscel .

2. In paralelogramul ABCD , AM perpendicular pe CD , M e CD si AN perpendiucular pe BC , N e BC . Demonstrati ca , daca [AM]=[AN] , atunci ABCD este romb .

Answer 1

1.  Esti sigura ca m(<BAD) = 102 GRADE si nu era de fapt m(<BAD) = 120 grade?

Eu rezolv pentru varianta cu 120 grade si sper sa-mi confirmi ca ai gresit redactarea datelor din problema, pt va altfel...."nu se leaga".

Notam EA intersectat cu CD=M.
Cum intr-un romb diagonalele sunt si bisectoare, iar
m(<BAD) = 120 grade, rezulta ca m(<BAC) = m(<CAD) =60 grade
Dar in romb toate laturile sunt egale, deci triunghiul ABC este isoscel, cu [AB]=[BC], deci si unghiul din A este egal cu unghiul din C=60, iar din faptul ca suma unghiurilor unui triunghi este 180 grade rezulta ca si unghiul din B are tot 60 grade, adica triunghiul ABC este echilateral, deci  [AB]=[BC]=[AC].
Dar din romb avem [AB]=[BC]=[CD]=[AD], deci de mai sus avem ca in triunghiul ACD avem [AC]=[CD]=[AD], adica triunghiul ACD este echilateral, deci are masura tuturor unghiurilor=60 grade.
Acum vine randul lui M:
Cum EA perpendicular pe AB (cu E exterior rombului ABCD) si AB||CD =>EM perpendicular pe CD, deci in triunghiul ACD echilateral (am aratat mai sus) avem AM inaltime, deci va fi si mediana (si bisectoare, dar asta ne intereseaza mai putin acum), adica este mediatoarea segmantului [CD]. Cum se stie ca orice punct de pe mediatoarea unui segment este egal departat de capetele segmentului, inseamna ca si punctul E, aflat pe AM, va fi egal departat de C si D, adica [EC]=[ED], adica triunghiul ECD este isoscel.  q.e.d.

2. Aici este interesant cum faci desenul ca sa iasa paralelogramul romb:
Desenezi mai intai segmentele egale [AM]=[AN] (cu deschidere mai mica de 90 grade intre AM si AN, ca sa iasa desenul frumos din prima). Apoi desenezi perpendicularele in M pe AM, respectiv in N pe AN, care se vor intersecta in C. Duci apoi paralele din A la aceste perpendiculare astfel: paralela din A la CM se va intersecta cu CN in B, iar paralela din A la CN se va intersecta cu CM in D.
Ai obtinut paralelogramul ABCD cu datele din problema.

Acum: in triunghiurile AMC si ANC, dreptunghice in M, respectiv N, ai ipotenuza
 comuna AC si stii, din ipoteza, ca [AM]=[AN], deci triunghiurile AMC si ANC sunt congruente (cazul Ipotenuza-Cateta), deci m(<ACM)=m(<ACN). (relatia 1)

Dar cum AD||BC rezulta ca m(<ACN)=m(<CAD). (rel 2)
De asemenea, din AB||CD rezulta ca m(<ACM)=m(<CAB)  (rel 3)

Din relatiile (1), (2) si (3) rezulta ca m(<CAD)=m(<CAB), deci in paralelogramul ABCD, diagonala AC este si bisectoare, ceea ce conduce la concluzia ca ABCD este romb (adica un paralelogram cu laturile consecutive congruente). q.e.d.

Daca nu iti este cunoscut argumentul pt care "daca intr-un paralelogram o diagonala este si bisectoare atunci paralelogramul este romb", da-mi de veste si iti explic.