Question

Va rog frumos!!!
Arătați ca, oricare ar fi numerele reale x si y, cu |x|<1 si |y|<1 avem |x+y| / |1+ x*y| <1​

Answer 1

Salut! ⭐

| ( x + y )/( 1 + xy ) | < 1 ⇒ - 1 < ( x + y )/( 1 + xy ) < 1

| x | < 1

| y | < 1

______ ( • )

| xy | < 1 ⇒ - 1 < xy < 1 | + 1 ⇒ 0 < 1 + xy < 2

| x | < 1 ⇒ - 1 < x < 1 | + 1 ⇒ 0 < x + 1 < 2

| y | < 1 ⇒ - 1 < y < 1 | + 1 ⇒ 0 < y + 1 < 2

____________________________ ( • )

0 < ( x + 1 )( y + 1 )

0 < xy + x + y + 1

- ( 1 + xy ) < x + y | : ( 1 + xy ) > 0

- 1 < ( x + y )/( 1 + xy ) ①

- 1 < x < 1 | × ( - 1 ) ⇒ 1 > - x > - 1 | + 1 ⇒ 2 > 1 - x > 0

- 1 < y < 1 | × ( - 1 ) ⇒ 1 > - y > - 1 | + 1 ⇒ 2 > 1 - y > 0

_______ ( • )

( 1 - x )( 1 - y ) > 0

1 - y - x + xy > 0

1 + xy > x + y | : ( 1 + xy ) > 0

1 > ( x + y )/( 1 + xy ) ②

Din ① și ② ⇒ - 1 < ( x + y )/( 1 + xy ) < 1

Succes! ♡