Question

Vă rog frumos , dau 50 de puncte.


ABCD este un patrulater inscriptibil cu (AC bisectoare unghiului DAB, AB perpendicular BC și m(BC)=m(AD)/2. Daca DB =12 cm , sa se afle :
a) măsurile unghiurilor patrulaterului ABCD
b)perimetrul patrulaterului ABCD
c) aria patrulaterului ABCD
d) lungimea razei cercului circumscris patrulaterului ABCD.​

Answer 1

Răspuns:

a) 60°,90°,120°,90°.

b) 8·(3+√3) cm.

c) 48√3 cm².

d) 4√3 cm

Explicație pas cu pas:

AB⊥BC, deci ∠ABD este unghi înscris cu măsura de 90°, atunci m(AC)=180° şi deci AC este diametru. AC este bisectoare, deci, atât arcele BC şi DC sunt congruente şi coardele BC şi DC sunt congruente. Atunci m(AB)=m(AD) şi AB=AD. Din date avem că  m(BC)=m(AD)/2, adică arcul BC este jumătate din arcul AD, sau AB. Atunci punctul B împarte arcul AC în două părţi în raportul 2:1, adică o parte va fi 180°:3=60°, atunci m(∠ACB), unghi înscris, se măsoară cu jumătatea arcului pe care se sprijină şi deci m(∠ACB)=120°:2=60°, iar m(∠BAC)=60°:2=30°.

a)  măsurile unghiurilor patrulaterului ABCD:

m(∡A)=30°+30°=60°,  m(∡B)=90°, m(∡C)=60°+60°=120°, m(∡D)=90°.

b) BD=12. În ΔABD, AB=AD,  m(∡A)=60°, deci ΔABD este isoscel şi m(∡ABD)=m(∡ADB)=60°, deci  ΔABD este echilateral, atunci AB=AD=12.

În ΔABC, fie BC=x, atunci AC=2x, deoarece cateta BC se opune unghiului de 30°, şi este egală cu jumătate din ipotenuza AC. După T.P. ⇒AC²-BC²=AB², atunci (2x)²-x²=12², 4x²-x²=12², 3x²=12², x²=12·12/3=12·4, atunci x=√(12·4)=2·√(4·3)=2·2√3=4√3, deci BC=4√3.

Atunci Perimetrul(ABCD)=12+4√3 +12+4√3=24 + 8√3 =8·(3+√3).

c) Aria(ABCD)=2·Aria(ΔABC)=2·(1/2)·AB·BC=12·4√3=48√3 cm²

d) lungimea razei cercului circumscris patrulaterului ABCD este AO, dar AO=AC:2. AC=2·BC=2·4√3=8√3, ⇒AO=4√3 cm