Matematică, întrebare adresată de radusss, 9 ani în urmă

Vă rog frumos de tot, mă poate ajuta cineva cu această problemă?
"Fie z∈¢\{-1} și u=(1-z)/(1+z). Determină z astfel încât z(conjugat)-u și u² să fie simultan reale."
Am tot încercat să o rezolv și am ajuns la:
u²∈R ⇒ b=0 sau |z|=1
z(conjugat)-u ∈ R ⇒ b=0 sau (a+1)²+b²=2,
unde z=a+bi.
Nu știu cum să aflu a și b, sunt niște condiții de existență, dar nu știu cum să o duc la capăt...
M-aș bucura mult de tot dacă m-ați putea ajuta, căci niciunul dintre colegii mei nu a reușit să rezolve problema :)

albastruverde12: Am rezolvat-o, insa voi trimite solutia maine, caci acum nu pot. Solutiile pe care le-am obtinut sunt urmatoarele: orice numar real (mai putin -1) la care se adauga "i" si "-i". Nu recomand scrierea z=a+bi in rezolvarea problemelor de acest gen. Conditia ca un numar complex sa fie real este ca acesta sa fie egal cu conjugatul sau. Astfel, a fost suficient sa notez |z|=R si sa folosesc proprietatea mentionata.

radusss: Ok, va multumesc mult!

c04f: ce intelegi prin z(conjugat)-u si u^2 sa fie simultan reale?, cine sunt simultan reale ? [z( conjugat)-u] si u^2 ?

radusss: da, amandoua sunt reale

radusss: simultan

albastruverde12: Cum nu se mai pot adauga raspunsuri, voi scrie solutia aici, in comentariu. Notam |z|=R>=0. Atunci z(conjugat)=R^2/z. Cum am spus si ieri, conditia ca un numar complex sa fie real este ca acesta sa fie egal cu conjugatul sau. Din u^2 real rezulta u^2=u(conjugat)^2. Dupa prelucrari se ajunge la (z^2+zR^2-z-R)^2=(z^2-zR^2+z-R^2)^2. Si de aici rezulta doua cazuri:

albastruverde12: Cazul 1: z^2+zR^2-z-R^2=z^2-zR^2+z-R^2 <=> zR^2=z. Rezulta z=0 sau R^2=1. z=0 convine. Din R^2=1 => R=1 => z(conjugat)=1/z. Acum din z(conj)-u real, deducem z(conj)-u=z-u(conj). Dupa efectuarea calculelor (nu sunt multe, doar ca nu le pot scrie pentru ca nu pot folosi LaTeX in comentariu) rezula z^3-z^2+z-1=0 <=> (z^2+1)(z-1)=0. Rezulta z=1 sau z=i sau z=-i (toate convin!)

albastruverde12: Cazul 2: z^2+zR^2-z-R^2=-(z^2-zR^2+z-R^2) <=> z^2=R^2. Deci z=R sau z=-R... ceea ce inseamna ca z este numar real (mai putin -1). Evident, in acest caz avem u real, si deci z(conj)-u este real.

albastruverde12: Prin urmare solutiile sunt toate numerele reale (mai putin -1) la care se adauga "i" si "-i".

radusss: Va multumesc foarte mult! Pana la urma am rezolvat-o(cu ajutorul unui coleg). :)

Răspunsuri la întrebare

Răspuns de claw

Salut. Aceasta e rezolvarea. Sper sa intelegi usor.

Daca e nevoie de explicatii aditionale, spune-mi doar.

Succes!

Anexe:

albastruverde12: E gresit. O fractie de forma (a+bi)/(c+di) trebuie intai amplificata cu conjugata, pentru a fi adusa la forma x+yi... si abia apoi se impune y=0, dar nicidecum nu se impune din start b=0 si d=0. Poti verifica solutiile "i" si "-i" pe care le-ai pierdut din cauza acelui argument invalid.

albastruverde12: Astfel, conditia ca numarul (a+bi)/(c+di) sa fie real este ad-bc=0.

Întrebarea anterioară

Următoarea întrebare

Alte întrebări interesante

Franceza, 8 ani în urmă

Bună!Am și eu nevoie de un text în franceza de 10 replici dintre mine și o vânzătoare de magazin de haine sau pantofi.

Engleza, 8 ani în urmă

5 Put the verbs in brackets into the present simple. Write in your notebook 1. We ... (not/have) lunch at 1 pm. 2. Frank ... (listen) to music in the evening 3. Dana ... (not/go) shopping at the weekends 4. ... (you/do) your homework after school 5. They ... (spend) time with their family in the afternoon. dau coroana plsss am nevoie acum, urgent...

Matematică, 8 ani în urmă

Care dintre urmatoarele propozitii sunt adevarate si care sunt false? a)576 se divide cu 4 dar cu 6? dar cu 12? dar cu 24?

Chimie, 9 ani în urmă

1.Calculeaza masa de C ce reactioneaza cu 900g solutie H2SO4 49% 2.Calculeaza masa solutiei HNO3 63%cu 3moli atomi de Carbon...