Question

va rog frumos expicati-mi logaritmi cum se fac

Answer 1

I.Definitie

Hai sa plecam de la lucrurile pe care le stim:

Puterea:
$a^b=c$

Radicalul:
$a=\sqrt[b]{a}$

Avem o ecuatie pentru c, si una pentru a. Intrebarea e: il putem scrie pe b in functie de a si c? Raspunsul este logaritmul:
 $b=log_ac$

Logaritmul raspunde la intrebarea: La ce putere trebuie ridicat a pentru a obtine c?
De exemplu:
[tex]log_2(4)=2\rightarrow 2^2=4\\ log_3(3)=1\rightarrow3^1=3\\ log_2(\frac{1}{2})=-1\rightarrow 2^{-1}=\frac{1}{2}[/tex]

Concluzie:
Logaritmul este operatia inversa a ridicarii la putere.

II. Conditiile de existenta

Acum, logaritmul acesta are niste conditii. La fel cum pentru radical, de exemplu, argumentul sau trebuie sa fie mai mare sau egal cu 0.
Considera urmatorul exemplu:
$log_4(-2)=?$

In acest caz, logaritmul nu are solutie, deoarece nu-l putem ridica pe 4 la o putere reala si sa obtinem un numar negtiv. Aceeasi problema o vom avea pentru toate numerele negative, asa ca, la fel ca la radical, vom exclude numerele negative.

In comparatie cu radicalul, logaritmul mai are o conditie pentru argument. Uite aici alt exemplu:
$log_{\frac{1}{3}}(0)=?$

Oricum ai face, nu vom putea ridica niciodata 1/3 la o putere reala si sa obtinem 0.
Asadar, argumentul logaritmului trebuie sa fie mai mare ca 0.

Mai avem niste conditii pentru baza:
$log_{-2}(4)=?$
Aici, poti spune ca (-2) ridicat la puterea a doua este 4, astfel rezultatul ar fi 2. Dar daca am avea:
$log_{-2}(8)=?$
Aici apar din nou probleme, deoarece stim ca 2^3 este 8, dar (-2)^3 = -8. Aceleasi probleme o sa apara la toate numerele negative, asa ca le vom exclude: baza nu trebuie sa fie numar negativ.

Mai avem 2 conditii pentru baza:
[tex]log_0(5)=?\\ log_1(10)=?[/tex]

Baza nu poate fi 0 sau 1, deoarece, la orice putere le-ai ridica, ele raman constante, deci le vom exclude si pe ele.

Concluzie:
-Argumentul logaritmului trebuie sa fie mai mare ca 0
-Baza logaritmului trebuie sa fie mai mare ca 0 si diferita de 1

[tex]log_ab\rightarrow\left\{\begin{array}{ll} b\ \textgreater \ 0\\ a\ \textgreater \ 0\\ a\neq 1 \end{array}\right[/tex]
Functia:
$f:(0,\infty)\rightarrow R\ ,\ f(x)=log_a(x)\ ,\ a\in (0,\infty)\backslash\{1\}$

III. Proprietati
[tex]\bullet\ log_a(x\cdot y)=log_ax+log_ay\\\\ \bullet\ log_a(\frac{x}{y})=log_ax-log_ay\\\\ \bullet\ log_a(x^y)=y\cdot log_c(a)\\\\ \bullet\ log_ax=\frac{log_bx}{log_ba}\text{ Formula de schimbare a bazei} [/tex]

Prima se poate demonstra usor:
[tex]log_ax=n_1\rightarrow a^{n_1}=x\\ log_ay=n_2\rightarrow a^{n_2}=y\\ a^{n_1}\cdot a^{n_2}=xy\rightarrow a^{n_1+n_2}=xy\rightarrow log_a(xy)=n_1+n_2=log_ax+log_ay[/tex]

Acelasi lucru se va face si pentru impartire.

A treia:

[tex]log_a(x)=n\ \rightarrow a^n=x \ \ | ^y \\ (a^n)^y=x^y\\ a^{ny}=x^y\rightarrow log_a(x^y)=ny=y\cdot log_a(x) [/tex]

A patra:

[tex]log_ax=n\rightarrow a^n=x\ \text{Aplicam logaritm in baza b in ambii membri}\\ log_b(a^n)=log_b(x)\rightarrow n\cdot log_b(a)=log_b(x)\rightarrow n=\frac{log_bx}{log_ba}\\ log_ax=\frac{log_bx}{log_ba}[/tex]

Sunt si niste baze particulare:
[tex]log_e(x)=ln(x)\ \text{logaritmul natural, unde e este numarul lui Euler}\\ log_{10}(x)=lgx[/tex]