Question

Vă rog frumos, mă ajutați și pe mine la aceste exerciții?

Answer 1

f(x) =x /x+2 -1 /x+1 =[x·(x+1)-(x+2)]/(x+2)(x+1) =x² -2 /(x+2)(x+1) .

f'(x) =(x² -2)'·(x+2)(x+1) -(x²-2)·[(x+2)(x+1)]' /(x+2)(x+1) >0 (prin calcule numerice) pentru orice x real pozitiv.

Functia f este bijectiva daca injectiva dar si surjectiva.

f:[0,∞)⇒[-1,1) este injectiva daca pentru orice x,y∈[0,∞); x≠y => f(x)≠f(y) si se demonstreaza acest lucru si in cazul de mai sus.

f:[0,∞)⇒[-1,1) este surjectiva daca pentru orice y∈[-1,1) exista x∈[0,∞) cu f(x)=y sau, altfel spus, daca imaginea functiei f este [-1,1).

Din astea doua se ajunge la bijectivitatea functiei.

Limita de la subpunctul c se scrie astfel

lim x→∞ ( x²+3x+2 -3x-4 /x²+3x+2)ˣ =lim x→∞ (1 -3x-4 /x²+3x+2)ˣ =e⁻³=1/e³.