Question

Va rog frumos sa ma ajutati la exercițiul 12 :))

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

din datele din ipoteza ⇒m(∡A)=180-60-45 = 75°

a. in Δ dr. ABD , dreptunghic in D, m(∡B)=60° => m(∡BAD)=30° de aici deducem ca BD=AB/2=8/2=4

in acelasi ΔABD cunoastem AB, cunoastem BD ⇒prin teorem lui Pitagora ca AD²=AB²-BD² = 64-16 = 48, deci AD=4√3

b. in Δ dr ADC, m(∡C) = 45° ⇒ Δ dr ADC este si isoscel, deci AD=DC=4√3

in acelasi Δ dr ADC, cunoastem AD si DC ⇒ prin teorema lui Pitagora putem afla AC

AC² = AD²+DC² = 48+48 = 96 ⇒AC = 4√6

deci perimetrul ΔABC = 8+4√6+(BD+DC) = 8+4√6+(4+4√3) = 12+4√6+4√3 = 12+4√3(√2+1)

c. BQ = BC/2 = 4(√3+1)/2 = 2(√3+1)

dar BQ = BD + DQ ⇒DQ=BQ-BD = 2(√3+1) - 4 = 2√3-2 = 2(√3-1)

din AP/PB = 1 si AR/RC = 1 in baza teoremei lui Thales ⇒PR║BC, deci ΔAPR≈ΔABC, iar PR=BC/2 = 2(√3+1)

Observam ca PR=BQ si ca PR║BQ ⇒patrulaterul PRQB este paralelogram, deci QR = PB = 4

fie A' = AD∩PR. cum AD⊥BC si PR║BC => AA' ⊥ PR

vom avea ca ΔAPA' ≈ ΔABD iar AA' = AD/2 (raportul laturilor). de aici tragem concluzia ca ΔAPA'≡ΔPDA' si PD=AP = 4

deci perimetrul patrulaterului PDQR = 4+4+2(√3+1)+2(√3-1) = 8+2*√3+2+2*√3-2 = 8+4√3 = 4(2+√3)