Question

Va rog frumos! Vreau repede!

Answer 1

Teorema lui Ceva
Fie triunghiul MNP si un punct O in interiorul triunghiului MNP. Notam M' interesectia dintre dreapta MO si PN, N' interesectia dintre dreapta NO si MP, P' interesectia dintre dreapta PO si MN.
Are loc relatia:
MP'/P'N·NM'/M'P·PN'/N'M=1

Reciproca teoremei lui Ceva.
Fie triunghiul MNP si punctele M'∈[NP], N'∈[MP] si P'∈[MN].
Daca are loc relatia MP'/P'N·NM'/M'P·PN'/N'M=1 atunci dreptele MM',NN' si PP' sunt concurente.

Punctele M,N,P sunt mijloacele laturilor ΔABC⇒MN,NP,MP sunt linii mijlocii
MN||AC si cum mediatoarea in P este perpendiculara pe AC si AC||MN atunci mediatoarea din P este perpendiculara si pe MN, adica PP'⊥MN, P'∈[MN].
Analog MM'⊥PN si  NN'⊥MP.
Adica MM',NN' si PP' sunt inaltimi in ΔMNP. Vom folosi reciproca teoremei lui Ceva pentru a demonstra ca Aceste inaltimi( mediatoarele ΔABC) sunt concurente.
ΔMNM'≈ΔPNP'(UU)⇒NM'/NP'=MN/NP
ΔMPM'≈ΔNPN'(UU)⇒PN'/PM'=NP/MP
ΔMP'P≈ΔMN'N(UU)⇒MP'/MN'=MP/MN
Inmultind egalitatile de mai sus obtinem:
NM'/NP'·PN'/PM'·MP'/MN'=MN/NP·NP/MP·MP/MN=1⇒
MP'/P'N·NM'/M'P·PN'/N'M=1⇒conform reciprocei teoremei lui Ceva ca mediatoarele MM',NN' si PP' sunt concurente.