Question

Va rog mult ajutați-mă !!! Determinați cel mai mic număr natural care împărțit la 5 da restul 2 , împărțit la 7 da restul 4 si este divizibil prin 8 . Câte numere de 4 cifre cu aceste proprietăți exista ?? Calculați suma acestor numere !

Answer 1

n=5k+2
n=7m+4

n+3=5k+2+3=5k+5=5p
n+3=7m+4+3=7m+7=7s
 
5|n+3
7|n+3
 
deci c.m.m.m.c(5,7)| n=3
 35 |n+3
 n +3 minim=35
 n minim =32
 numerele sunt de forma 32 +35k ( ele merg tot din 35 in 35, ca totio multip[lii comuni ai lui 5 si 78, doar ca incep de la 32, nu debla 0 9sau 35)

Printre numerele e forma 35k+32 trebuie sa il determinam pe el mai mic care se va imparti la 8...cum 8|32, trebuie sa cautam cel mai mic numar 35k, virgulka, care sa se imparta la 8
 cum 8 si 35 sunt prime intre ele, cel mai mic numar va fi pt k=8, adica
35*8+32=280+32=312, cerinta


trebuie sa falm cate astfel de numere cu 4 cifre exista

1000≤35k+32≤9999
 pt simplificare calculelor  vom tine cont ca doar pt k=8, 16, 24....8q vom gasi numere de tip 35k+32 divizibile cu 8
 deci putem scrie
1000≤35*8*q+32≤9999

1000≤280q+32≤9999 scadem 32 din fiecare membru al dublei inegalitati
968≤280q≤9967

3,45..≤q≤35,59.. q∈N
deci q∈{4;5;......35}
verificare 280*4+32=1152
                  280*35+32=9832

exista in total 35-4+1=32 de astfel de numere, cerinta



suma lor este

varianta 1
S=280*4+32+ 280*5+32+....280*34+32 +280*35+32=

                         280 (4+5+...+34+35)+32+32+...+32 =
                                                             ( in total 32 de 32)

S= 280 (39*32/2)+32² am folosit suma Gauss la prima paranteza, de 32 de termeni grupati in 32/2 sume cu valoarea 39, care rezulta adunand pe primul cu ultimul, pe al doilea cu penuultimul, etc


S=175744, cerinta

varinata 2 pt suma S
 primul numar fiind 1152 si ultimul, 9832, le putem aduna si inmulti cu 32/2=16 perechi a caror suma va fi egala

(1152+9832)816=10894*16=175744, cerinta