Question

Va rog mult ajutați-ma e urgent!!!!!!!!!

Answer 1

$\displaystyle 2.~f,g:(0,+\infty)\rightarrow \mathbb{R},~f(x)=\frac{2x^2-5x+1}{x} ,~g(x)=x^2-5x+lnx\\ \\ a)~g'(x)=(x^2-5x+lnx)'=(x^2)'-(5x)'+(lnx)'=2x-5x'+\frac{1}{x} =\\ \\ =2x-5\cdot1+\frac{1}{x} =2x-5+\frac{1}{x} =\frac{2x^2-5x+1}{x} =f(x)$

$\displaystyle b)~\int\limits_1^af(x)dx=lna,~a>1\\ \\ \int\limits_1^a\frac{2x^2-5x+1}{x} dx=lna\Rightarrow \int\limits_1^a \left(\frac{2x^2-5x}{x} +\frac{1}{x} \right)dx=lna\Rightarrow \\ \\ \Rightarrow \int\limits_1^a\frac{2x^2-5x}{x} dx+\int\limits_1^a\frac{1}{x} dx=lna\Rightarrow \int\limits_1^a\frac{x(2x-5)}{x}dx +\int\limits\frac{1}{x}dx =lna \Rightarrow$

$\displaystyle \Rightarrow \int\limits_1^a(2x-5)dx+\int\limits_1^a\frac{1}{x} dx=lna\Rightarrow \int\limits _1^a2xdx-\int\limits_1^a5dx+\int\limits_1^a\frac{1}{x} dx=lna \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow 2\int\limits_1^axdx-5\int\limits_1^adx+\int\limits_1^a\frac{1}{x} dx=lna\Rightarrow 2 \cdot \frac{x^2}{2} \Bigg|_1^a-5x\Bigg|_1^a+lnx\Bigg|_1^a=lna\Rightarrow \\ \\ \Rightarrow 2 \left(\frac{a^2}{2} -\frac{1}{2} \right)-5(a-1)+lna-ln1=lna\Rightarrow$

$\displaystyle \Rightarrow \frac{2a^2}{2} -\frac{2}{2} -5a+5+lna-0-lna=0 \Rightarrow a^2-5a-1+5=0\Rightarrow \\ \\ \Rightarrow a^2-5a+4=0\\ \\ \Delta=b^2-4ac~~~~~~~~~~~~~~~~~~a=1,~b=-5,~c=4\\ \\ \Delta=(-5)^2-4 \cdot 1 \cdot 4=25-16=9>0\\ \\ a_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta} }{2a} =\frac{-(-5)-\sqrt{9} }{2\cdot1} =\frac{5-3}{2} =\frac{2}{2} =1\\ \\ a_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta} }{2a} =\frac{-(-5)+\sqrt{9} }{2\cdot1}=\frac{5+3}{2} =\frac{8}{2} =4\\ \\ a>1 \Rightarrow \mathbf{a=4}$

$\displaystyle c)~h:(0,+\infty)\rightarrow \mathbb{R},~h(x)=g(x)-x^2+5x~~~~~~~~~~~~~~~x=e,~x=e^2\\ \\ h(x)=g(x)-x^2+5x=x^2-5x+lnx-x^2+5x=lnx\\ \\ h(x)=lnx\\ \\ A=\int\limits_a^b|f(x)|dx=\int\limits_e^{e^2}|lnx|dx\\ \\ \int\limits lnxdx\\ \\ \int\limits f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int\limits f'(x)g(x)dx\\ \\ f(x)=lnx~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~f'(x)=(lnx)'=\frac{1}{x} \\ \\ g'(x)=1~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~g(x)=\int\limits dx=x+C$

$\displaystyle\int\limits lnxdx=xlnx-\int\limits\left(\frac{1}{x} \cdot x\right)dx=xlnx-\int\limits dx=xlnx-x+C=\\ \\ =x(lnx-1)+C\\ \\ \int\limits_e^{e^2}lnxdx=x(lnx-1)\Bigg|_e^{e^2}=e^2(lne^2-1)-e(lne-1)=\\ \\ =e^2lne^2-e^2-e(1-1)=2e^2lne-e^2-e \cdot 0=2e^2\cdot1-e^2-0=\\ \\ =2e^2-e^2=e^2\\ \\ \mathbf{A=e^2}$