Question

Va rog mult ajutati-ma la aceasta problema:
Raportul lungimilor catetelor unui triunghi dreptunghic este egal cu 5 asupra lui 6,iar lungimea ipotenuzei este de 122 cm.Aflati lungimile segmentelor in care inaltimea dusa din virful unghiului drept imparte ipotenuza.
Mie mi se pare ca aici trebuie de folosit teorema catetei sau cea a inaltimii...
Teorema inaltimii: Patratul lungimii inaltimii unui triunghi dreptunghic corespunzatoare ipotenuzei este egal cu produsul lungimilor proiectiilor catetelor pe ipotenuza.
Teorema catetei:Patratul lungimii catetei unui triunghi dreptunghic este egal cu produsul dintre lungimea ipotenuzei si lungimea proiectiei acestei catete pe ipotenuza.

Answer 1

not:x-o cateta
y-alta cateta
z-ipotenuza
deci cu TP:xlapatrat+ylapatrat=zlapatrat
dar x/y=5/6 de unde rez ca6 x=5y.deci y=(6x)/5.inlocuind in TP
Xlapatrat+(36/25)xlapatrat=122
aducem la ac numitor:(36x+25x)/25=122
(61x)/25=122
x/25=2
deci:x=50
y=6x/5=6*50/5=60

Answer 2

Fie ABC un triunghi dreptunghic. cu m(A)=90°.
Si AM inaltimea dusa din A pe ipotenuza.
Acum, ipoteza problemei este ca ABC drept.
AB/AC=5/6
BC=122
Aplicam teorema lui Pitagora pentru a afla lungimile catetelor.
AB²+AC²=BC²
Dar stim ca 6AB=6AC
Scoatem pe AC=6AB/5
Si inlocuim in teorema lui Pitagora.
AB²+(6AB/5)²=BC²
AB²+36AB/25=BC²
inmultim cu 25 sa scapam de numitor;
25AB²+36AB²=25BC²
61AB²=25BC²
AB²=25BC²/61 sau AB²=122²*25/61=6100 deci AB=10√61
Din formula lui AC, (=6AB/5) ⇒ AC=12√61.
Din teorema a II-a a inaltimii stim ca inaltimea este egala cu raportul dintre produsele catetelor si ipotenuza.
(h=c₁*c₂/ip)
Ne folosim de aceasta teorema pentru a afla inaltimea.
h=((10√61)*(12√61)/122)=7320/122=60
Acum, inaltimea cade perpendicular pe ipotenuza, deci imparte triunghiul in 2 triunghiuri dreptunghice: ABM si ACM cu ipotenuzele AB, respectiv AC, iar una dintre catete va fi chiar inaltimea pe care am aflat-o.
Noua ni se cere lungimea segmentelor BM si CM.
Asa ca in cele doua triunghiuri vom aplica teorema lui Pitagora:
- ABM: AB²=AM²+BM², BM²=AB²-AM², BM²=(10√61)²-60², BM²=6100-3600=2500 deci BM=50
iar stiind ca BC=BM+CM, ⇒CM=122-50, CM=72.