Question

Va rog mult de tot. 1.2. Si 3.

Answer 1

$\displaystyle 1.~(xy)^2=x^2y^2~\forall~x,y \in G \Leftrightarrow \\ \\ \Leftrightarrow xyxy=xxyy~\forall~x,y \in G. \\ \\ Inmultim~la~stanga~cu~x^{-1}~si~la~dreapta~cu~y^{-1}.~Rezulta: \\ \\ yx=xy ~\forall~x,y \in G$

$\displaystyle 2.~f-morfism~\Rightarrow f(xy)=f(x)f(y)~\forall~x,y \in G. \\ \\ Rezulta~f(x^{-1}y^{-1})=f(x^{-1})f(y^{-1})~ \forall~x,y \in G. \\ \\ Echivalent~cu~(x^{-1}y^{-1})^{-1}=xy~\forall~x,y \in G.~~~(*) \\ \\ Din~faptul~ca~(a^{-1}b^{-1})(ba)=e~rezulta~(a^{-1}b^{-1})^{-1}=ba. \\ \\ (*)~devine~yx=xy~\forall~x,y \in G.$

$\displaystyle 3.~f(xy)=xf(f(y))~\forall~x,y \in G. \\ \\ Punem~x=e~\Rightarrow~f(y)=f(f(y))~\forall~y \in G. ~~~(*) \\ \\ Inlocuim~in~relatia~initiala:~f(xy)=xf(y)~\forall~x,y \in G.~~~(**) \\ \\ Punem~y=e~in~(**):~f(x)=xf(e)=xa~\forall~x \in G,~unde~a=f(e). \\ \\ Rezulta~f(f(y))=af(y),~iar~din~(*)~rezulta~f(y)=af(y)~\forall~y \in G. \\ \\ Rezulta~a=e. \\ \\ Atunci~f(x)=xa=x=1_G. \\ \\ Functia~f(x)=x~verifica~intr-adevar~conditia~initiala.$