Question

Va rog mult de tot ajutor!!!
$x + log_{2}(x) = 6$

Answer 1

   
x + log₂(x) = 6
log₂(x) = - x + 6
 
Tratam problema in felul urmator:
Se dau functiile: 
f(x) = log₂(x) 
g(x) = - x + 6
-------
y = log₂(x) 
y = - x + 6
Se cere abscisa punctului de intersectie al graficelor celor 2 functii.
⇒ y = y
⇒ log₂(x) = - x + 6
Este o ecuatie transcedenta.
Exemple de ecuatii transcedente:
sin(x) = ln (x)
x² = 2ˣ
O ecuatie transcendenta contine functii care transced algebra si nu pot fi exprimate printr-un sir finit de operatii algebrice (adunare, scadere, inmultire, impartire, radical.) sau contine doua functii pentru care nu exista formule de transformat una din functii in cealalalta.

Metode de rezolvare:
O astfel de ecuatie poate avea solutii irationale si solutii rationale sau doar de un singur fel sau ar putea sa nu aiba solutie.
Pentru inceput cautam solutiile rationale. Daca exista s-ar putea sa le vedem "cu ochiul liber".
De exemplu ecuatia:   2ˣ = x²  
Are 2 solutii rationale vizibile "cu ochiul liber":
x₁ = 2   ⇒   2² = 2²
x₂ = 4   ⇒   2⁴ = 4²
x₃ este o solutie irationala cuprinsa intre -1 si 0 
Solutia irationala se rezolva cu metoda injumatatirii intervalului. 
Este o metoda grea, cu multi pasi.
------------------------------------
Ne ocupam de ecuatia noastra:
log₂(x) = - x + 6
Cautam solutii rationale printre puterile lui 2 (datorita logaritmului).
Pentru x = 2 avem:
log₂(2) = 1 
-2+6 = 4
⇒ log₂(2) < -2+6
Pentru x = 8 avem:
log₂(8) = 3  
-8+6 = -2
⇒ log₂(8) > -8+6
Rezulta ca solutia este intre 2 si 8
In acest interval mai avem o putere a lui 2 care este 4
Daca 4 nu e solutie atunci vom folosi metoda injumatatirii intervalului.
log₂(4) = 2  
-4+6 = 2
⇒ log₂(4) = -4+6   ⇒  x = 4  este o solutie (Am avut noroc)
Cautam alte solutii rationale sau irationale.
Facem urmatorul rationament:
Functia f(x) = log₂(x) este strict crescatoare pe intervalul (0, +∞)
Functia g(x)= - x + 6 este strict descrescatoare pe R
⇒⇒⇒ Graficele celor 2 functii se pot intersecta doar intr-un singur punct.
Rezulta ca solutia x = 4 este solutie unica.
x = 4 este abscisa punctului de intersectie a functiilor.