Question

Va rog mult de tot... Unui pătrat cu latura de lungime a, ii este circumscris un cerc, iar cercului ii este circumscris un Hexagon regulat. Sa se afle aria Hexagonului regulat

Answer 1

Privind figura putem ușor observa că diagonala pătratului este diametrul cercului, astfel Diametrul = $\sqrt{ a^{2}+ a^{2} } = \sqrt{2* a^{2} } =a \sqrt{2}$
Raza cercului=Diametrul/2=$\frac{a \sqrt{2} }{2}$

cos∡GOA=$\frac{OG}{OA}$   (1)
Deoarece hexagonul ABCDEF este un hexagon regulat circumscris unui cerc ΔFOA trebuie să fie echilateral, deci ∡FOA este de 60° ⇒ ∡GOA=30°
cos 30° = $\frac{ \sqrt{3} }{2}$  (2)
Din relațiile 1 și 2 ⇒[tex] \frac{OG}{OA} = \frac{ \sqrt{3} }{2} [/tex]   (3)
OG este raza în cerc, deci $OG= \frac{a \sqrt{2} }{2}$ (4)
Din relațiile 3 și 4 ⇒$OA= \frac{ \frac{a \sqrt{2} }{2}*2 }{ \sqrt{3} } = \frac{a \sqrt{2} }{ \sqrt{3} }$
ΔFOA este echilateral, deci OA≡AF ⇒ $AF= \frac{a \sqrt{2} }{ \sqrt{3} }$
Hexagonul nostru fiind regulat și circumscris unui cerc are toate laturile congruente, deci $latura=\frac{a \sqrt{2} }{ \sqrt{3} }$
Formula ariei hexagonului regulat atunci când știm latura este:
$A= \frac{3* l^{2}* \sqrt{3} }{2}$
Știind latura, acum înlocuim în formulă:
$A= \frac{3* ( \frac{a \sqrt{2} }{ \sqrt{3} }) ^{2} * \sqrt{3} }{2} = \frac{3* \frac{2* a^{2} }{3} * \sqrt{3} }{2} = \frac{2* a^{2} * \sqrt{3} }{2} = a^{2} * \sqrt{3}$