Question

Vă rog mult ex 9. Măcar un subpunct..

Answer 1

E=x²+2y²+2x+4y+5=x²+2x+1+y²+4y+4+y²=(x+1)²+(y+2)²+y²

E, fiind o suma de patrate, are valoarea minima 0 in cazul in care toate cele 3 patrate art fi simultan 0 (ceea ce nu se poate pentru parantezele cu y!)

(x+1)²=0 ptr x=-1

(y+2)²=0 ptr y=-2 ce implica y²=4

y²=0 adica y=0 ce implica (y+2)²=4

deci ptr (x=-1, y=0) sau (x=-1, y=-2) E are valoarea minima E=4

E=2^x+3^x+2^-x+3^-x=2^x+3^x+1/2^x+1/3^x=(4^x+1)/2^x + (9^x+1)/3^x

dar a^x>0 ptr orice a>0 si daca notam y=a^x

valoarea minima pentru y²+1/y>=2 (deoarece (y-1)²>=0)

Aplic la (4^x+1)/2^x= y²+1/y>=2 avand valoarea minima 2 cand y=1, adica 2^x=1⇒x=0

(9^x+1)/3^x=z²+1/z=2 avand valoarea minima 2 cand z=1, adica 3^x=1⇒x=0

Concluzie expresia are valoarea minima pentru x=0, fiind egala cu 2+2=4