Question

Va rog mult puteti sa ma ajutati cu urmatoarea problema. Fie un triunghi echilateral inscris intr-un cerc de centru O .Sa se calculeze: vectorii AB+AC-3AO

Answer 1

Nu am inteles daca este vorba de segmente sau un calcul vectorial, dar avand in vedere ca nu ai valori numerice si scrii "vectorii" o sa presupun ca sunt vectori

Deci avem $\vec{AB}+\vec{AC}-2\vec{AO}$ care poate fi scris
$\vec{AB}+\vec{OA}+\vec{AC}+\vec{OA}+\vec{OA}=\vec{OB}+\vec{OC}+\vec{OA}$

Atunci cand aduni doi vectori concurenti, vectoru rezultant este diagonala paralelogramului format de acestia. Asa ca poti construi un paralelogram OABD, si sa spunem ca $\vec{OB}+\vec{OA}=\vec{OD}$

Deci practic trebuie sa calculam $\vec{OD}+\vec{OC}$
Si aici intervine importanta faptului ca este echilateral. Centrul cercului circumscris(triunghiul este inscris in cerc) este la intersectia mediatoarelor.

Intr-un triunghi echilateral mediatoarele sunt si bisectoare. Toate unghiurile dintr-un triunghi echilateral sunt egale cu 60, asa ca bisectoarele vor imparti unghiurile triunghiului in subunghiuri de 30 de grade.

Atunci, stim ca $\angle{OAB}=\angle{ABO}=30$,
Hai sa notam intersectia dintre OD si dreapta AB cu M.
OA si OB sunt egale, deoarece sunt raze in acelasi cerc. De aici rezulta ca paralelogramul OABD are doua laturi adiacente egale, de unde rezulta ca de fapt OABD este un romb.
Diagonalele rombului se intesecteaza la mijlocul lor. Diagonalele rombului OABD sunt AB si OD, deci M este chiar intersectia diagonalelor, si se afla la mijlocul segmentului AB

Datorita faptului ca triunghiul AOB este isoscel(OA=OB) atunci dreapta OM nu este numai mediana ci si inaltime. Rezulta ca OAM este un triunghi dreptunghic cu $\angle{OAM}=90$, Atunci, stim ca $\sin=\frac{cateta opusa}{ipotenuza}$  deci in cazul nostru: $\sin{OAB}=\frac{OM}{OA}$ adica
$\sin{30}=\frac{1}{2}=\frac{OM}{OA}$
Deci la final obtii OA=2OM.
Dar am stabilit mai sus ca M este la mijlocul ambelor diagonale ale rombului OABD. Atunci: OD=2OM, de unde rezulta ca OD=OA
Dar deja stim ca OA=OB=OC pentru ca toate sunt raze in cercul circumscris.

De aici avem ca OD=OC care sunt practic modulele celor doi vectori ramasi
$|\vec{OD}|=|\vec{OC}|$

Intr-un triunghi echilateral, mediatoarele sunt si inaltimi, deci dreapta OC trebuie sa cada perpendicular pe latura AB. Dar aceasta perpendiculara din O deja am desenat-o si am notat-o ca fiind OM. Deci, OC si OM sunt coliniare, in consecinta si OC si OD sunt coliniare.

Deci avem suma a doi vectori de modul egal,pe aceeasi directie, dar de sensuri opuse.

in final: $\vec{OD}+\vec{OC}=\vec{OC}-\vec{OC}=\vec{0}$

Answer 2

o alta varianta , ducem mediana AM , M ∈ BC cu  BM≡MC 
rezolvare vectoriala 
AM = AB + BM 
3· AO = 3· [2 /3 AM ] =  2AM = 2 · ( AB +BM ) = 2·AB + 2 ·BM = 2·AB + BC
                                                                                      = BC
ex. = AB + AC  - 2·AB - BC = AC - AB - BC = AC - ( AB + BC ) = 
                                                                                   ↓
                                                                                    = AC
= AC  - AC =0 vector