Question

Va rog mult rezolvati exercitiul:

Answer 1

a) Ducem (1-i) în dreapta cu semn opus și obținem$z= \frac{3+i}{1-i}$
Cum e destul de greu să împărțim fracții, amplificăm mai bine fracția cu conjugata lui 1-i care e 1+i pentru a obține un rezultat mai frumos.
Conjugata unui număr a+bi este a-bi.
Așadar, o să obținem:
$z= \frac{(3+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}$
Folosim formula $(a-b)(a+b)=a^{2}- b^{2}$
și desfacem paranteza de la numărător astfel:$z= \frac{3+3i+i+ i^{2} }{1- {(-i)}^{2} }= \frac{3+4i-1}{1-(-1)}= \frac{2+4i}{1+1}= \frac{2+4i}{2} = 1+2i$
b) Ducem factorii ce conțin z din dreapta în stânga cu semn opus. Obținem:
$3zi+(5-2i)z-3z=2-i$
Dăm factor comun pe z.
$z(3i+5-2i-3)=2-i$
Efectuăm calculele.
$z(i+2)=2-i$
Ducem pe i+2 în partea dreptă cu semn opus.
$z= \frac{2-i}{2+i}$
Amplificăm cu conjugata numitorului și calculăm.$z= \frac{(2-i )^{2} }{(2-i)(2+i)}= \frac{4-2i-2i+ i^{2} }{4- i^{2} } = \frac{4-4i-1}{4-(-1)}= \frac{3-4i}{5}$
c)Înmulțim totul cu 2+i.
$z-(7+i)(2+i)=z(1+i)(2+i)$
Efectuăm calculele.
$z-(14+2i+7i+ i^{2} )=z(2+2i+i+ i^{2} )$
$z-(14+9i-1)=z(2+3i-1)$
$z-(13+9i)=z(1+3i)$
Ducem 13+9i în dreapta.$z=z(1+3i)+(13+9i)$
Ducem z(1+3i) în stânga și dăm factor comun.$z-z(1+3i)=13+9i$$z(1-1-3i)=13+9i$
$z(-3i)=13+9i$
Înmulțim relația cu i.$z(-3i)i=13i+9 i^{2}$
$z(-(-3))=13i-9$
$3z=13i-9$
Ducem 3 în dreapta și obținem:
$z= \frac{13i-9}{3}$