Question

Va rog mult sa ma ajutați

Answer 1

fie fn(x) =x^n(x²+x+2)
pt 0<x<1
f(n+1)x≤fn(x) pt ca x^(n+1) ≤x^n
atunci si I(n+1)<In, deci In monoton (strict descrescator)
I1<integralde la 0 la 1 din 1/(x²+x+1)<integrala de la 0 la 1din 1/(1+1+1)=
integrala de la 0la 1 din 1/3=x/3 de la 0 la 1=1/3

fn(x)>0 ∀x∈(0;1) ⇒In≥0
0<In<1/3 m deci In marginit
si In monoton si marginit
deci In convergent deci exista limita de In
fie aceasta Limita =L ∈[0;1/3)

inmultim relatia data cu n
nI(n+1)+2nIn+2nI(n-1)=1
la limita,pt ca
lim I(n+1)= lim In=lim I(n-1)
atuncirelatia data devine
lim n*L+lim (2n)*L+lim (2n)L=1
sau
lim nIn +2 lim nIn+2lim nIn=1
unde lim n este cand n->∞

5*lim n *L=1
sau
5*lim(nIn)=1
lim (n In)=1/5