Question

VA ROG MULT!
Tetraedrul regulat ABCD are muchia de 6 cm. Notam cu M si N mijloacele segmentelor AB, respectiv CD.
a) Demonstrați ca MN este perpendicular cu AB si MN este perpendicular cu CD.
b) Calculați lungimea segmentului MN.

Answer 1

Eu as gandi in felul urmator:

a) tetredru regulat= are 4 fete din triunghiuri echilaterale

daca N este mijlocul laturii CD, atunci :

-in triunghiul echilateral ACD  avem AN  _|_ CD (din proprietatile triunghiului echilateral)

-in triunghiul echilateral BCD  avem BN  _|_ CD (din proprietatile triunghiului echilateral)

Potrivit teoremei ca : o dreapta _|_ pe 2 drepte concurente ditr-un plan este perpendiculara pe plan,

in plaul format de triunghiul ANB ,cele 2 drepte sunt AN si NB :

pe care am demotrat ca CD_|_ BN, si CD_|_ AN => CD_|_ pe plaul format de ΔANB

cum MN este o dreapta in planul format de ΔANB, potrivit faptului ca o dreapta _|_ pe un plan , este _|_ pe orice deapta din plan => CD_|_ MN

La fel :

daca M este mijlocul laturii AB, atunci :

-in triunghiul echilateral ABC  avem CM  _|_ AB (din proprietatile triunghiului echilateral)

-in triunghiul echilateral ABD  avem DM  _|_ AB (din proprietatile triunghiului echilateral)

Potrivit teoremei ca : o dreapta _|_ pe 2 drepte concurente ditr-un plan este perpendiculara pe plan,

in plaul format de triunghiul MCD ,cele 2 drepte sunt MC si MD :

pe care am demotrat ca AB_|_ MC, si AB_|_ MD => AB _|_ pe plaul format de ΔMCD

cum MN este o dreapta in planul format de ΔMCD, potrivit faptului ca o dreapta _|_ pe un plan , este _|_ pe orice deapta din plan => AB_|_ MN

Drept urmare am demonstrat ca MN_|_AB si MN_|_CD!

b) in ΔACD, AN=inaltime, latura triunghiului echilateral =6 cm

AN= \frac{ \sqrt{3} }{2} *6=3 \sqrt{3}

in Δ dreptunghic ANM, ughiul AMN=90 (demonstrat anterior)

AN²=AM²+MN²

9*3=9+MN²

MN²=18

MN=3 \sqrt{2}