Question

Va rog puțin ajutor la problema din imagine. Vă mulțumesc anticipat!

Answer 1

Răspuns:

$\dfrac{2021}{1977}$

Explicație pas cu pas:

Șirul 2, 6, 12, 20, 30,..., 2020·2021 este de forma $a_k = k(k+1)$

Trebuie să identificăm un invariant, adică o cantitate care nu se schimbă în final indiferent de ce numere sunt alese când se efectuează operația. În acest caz, a, b și c sunt întotdeauna înlocuite cu:

$d = \dfrac{abc}{ab+bc+ac} = \dfrac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}$

$\Rightarrow \dfrac{1}{d} = \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$

Verificăm dacă este invariant:

Fie șirul S: a,b,c,x,y,z,...

Aplicăm operația de la stânga la dreapta.

După prima operație avem:

$d = \dfrac{1}{\dfrac{1}{a} +\dfrac{1}{b} +\dfrac{1}{c}}$

$S: \dfrac{1}{\dfrac{1}{a} +\dfrac{1}{b} +\dfrac{1}{c}}, x, y, z,...$

$\Leftrightarrow S: d, x, y, z,...$

După a doua operație avem:

$d' =\dfrac{1}{\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}} = \dfrac{1}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}}$

$S: d', x, y, z,...$

$\Leftrightarrow S: \dfrac{1}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}}, z,...$

Observăm că se păstrează cantitatea sub această formă indiferent de ce numere sau câte numere sunt alese.

După 1009 de operații vor rămâne doar 2 elemente în șir.

Consideram primul număr expresia, iar al doilea număr cel care trebuie aflat, pe care îl notăm cu m.

În final avem relația:

$\displaystyle \dfrac{1}{\sum\limits_{k=1}^{2020}\dfrac{1}{k(k+1)}-\dfrac{1}{m}}=47 \Rightarrow \dfrac{1}{\sum\limits_{k=1}^{2020}\left(\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}\right)-\dfrac{1}{m}} = 47 \Rightarrow$

$\Rightarrow\dfrac{1}{\left(1 - \dfrac{1}{2021}\right)-\dfrac{1}{m}} = 47 \Rightarrow \dfrac{1}{\dfrac{2020}{2021}-\dfrac{1}{m}} = 47 \Rightarrow$

$\Rightarrow \dfrac{2020}{2021}-\dfrac{1}{m} = \dfrac{1}{47}\Rightarrow \dfrac{1}{m} = \dfrac{2020}{2021} - \dfrac{1}{47}\Rightarrow \boxed{m = \dfrac{2021}{1977}}$