Question

Va rog rapid. Dau coroană:)​

Answer 1

Răspuns:

a)suma măsurilor unghiurilor interioare într-un hexagon este egală cu $180$°$* 4$ deoarece putem împărţi hexaganoul în 4 triunghiuri oarecare fiecare având câte $180$°. dar cum hexagonul regulat prin definiţie are unghiurile interioare congruente iar suma măsurilor unghiurilor interioare este de $720$° înseamnă că un singur unghi interior (precum ∡$ABC$) este egal cu $720$°$/6 = 120$°.

acum vom nota $FE$∩$CD = \{ S \}$

cum $m($∡$FED) = 120$° înseamnă că $m($∡$SED) = 180$° $-120$°$= 60$°

analog şi $m($∡$SDE) = 60$°

avem două unghiuri a câte $60$° fiecare înseamnă că Δ$SED$ este echilateral cu latura de $[ED] = 36cm$.

dar dacă $SE = EF = 36cm$ şi $SD = DC = 36cm$ înseamnă că $E$ şi $D$ sunt mijloacele $[SF]$ şi $[SC]$ înseamnă că $[ED]$ este linie mijlocie în Δ$SFC$, de unde rezultă că  $ED = \frac{FC}{2} = 36cm$ şi $ED$║$FC$

dar Δ$SFC$ este unul echilateral deoarece are un unghi de $60$° de la Δ$SED$ şi $FC = SF = SC = 2 * 36cm$, înseamnă că şi $m($∡$EFC) = 60$°, dar $m($∡$EFA) = 120$°.

rezultă că $[FC = bis$∡$EFA$

notăm $\{ O \} = EB$∩$FC$

Δ$EOF$≡Δ$BOC$ deoarece au unghiuri opuse la vârf (∡$EOF$ cu ∡$BOC$), $[EF]$≡$[BC]$, ∡$EFO$≡∡$BCO$ (ambele au $60$°)

de aici rezultă că $FO = OC = ED = \frac{FC}{2}$, iar asta înseamnă că patrulaterul $EDOF$ este un paralelogram, înseamnă că $EF = OD = 36cm$, iar pentru că acest paralelogram are toate laturile egale cu $36cm$ înseamnă că este un romb.

dar $EB, FC, AD$ sunt concurente toate în $O$ deoarece avem o dată ca definiţia punctului că este $EB$∩$FC$, iar diagonalele în paralelogramul ABDE sunt concurente tot în mijlocul $[EB]$ (apropo ABDE este tot paralelogram deoarece printr-un analog triunghiului $SED$ cu $AB$ linie mijlocie acum, $AB$║şi egal cu $FC$, care este şi el la rândul lui ║şi egal cu $ED$)

înseamnă că toate triunghiurile determinate de intersecţia dreptelor $EB, FC$ şi $AD$ sunt echilaterale cu latura egală cu latura hexagonului regulat.

rezultă că $m($∡$BDE) = m($∡$EDO) + m($∡$ODB) =60$°$+30$°$= 90$°

înseamnă că Δ$EDB$ este dreptunghic în D, cu ∡$DEB$ de $60$°, de unde rezultă că ∡$DBE$ are $30$°

folosind teorema unghiului de $30$° rezultă că $ED = \frac{EB}{2}$, deci $EB = 2ED = 2 * 36cm = 72cm = 0,72m$

b) notăm $\{ T \} = EB$∩$FD$

avem $FE = ED$ de unde rezultă că $ET = med[FD]$, de unde rezultă la rândul său din definiţie că $ET$⊥$FD$↔$EB$⊥$FD$, deoarece $B$ ∈ $ET$

c) Δ$BDE$≡Δ$BFE$, deoarece au $ED = EF$, $EB$ este latură comună şi ∡$FEB$≡∡$DEB$ de unde rezultă că au şi arii egale.

dar $A(BDE F) = 2A($Δ$BDE)$

A(Δ$BDE) = \frac{DE*DB}{2}$

îl ştim pe $DE$, iar pe $DB$ îl putem afla folosind o funcţie trigonometrică, mai exact $cos$.

$cos$∡$DBE = cos$∡$30$°$= \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{DB}{BE}$

$\frac{DB}{BE} = \frac{DB}{72} = \frac{\sqrt{3}}{2}\\DB = \frac{72\sqrt{3}}{2} = 36\sqrt{3}$

însfârşit A(Δ$BDE) = \frac{DE*DB}{2} = \frac{36*36\sqrt{3}}{2}cm^2$

însemnând că $A(BDE F) = 2A($Δ$BDE) = 2 * \frac{36*36\sqrt{3}}{2} = 36^{2}cm^2$

P.S. știu că pare mult, dar am lucrat mult la a) ca la b) și c) să avem deja toate lucrurile demonstrate. oricum la a) nu este necesar să scrii atât de mult deoarece este un fel de 'fapt cunoscut' că poți împărți un hexagon regulat în mici triunghiuri echilaterale congruente, dar am scris atât ca să vezi de ce vrem ca aceste lucruri să fie deja cunoscute, ca să nu fie necesar la fiecare demonstrație să scriem atât. mai ales când definiția hexagonului regulat este un poligon regulat cu 6 laturi. dar ce este un poligon regulat? un poligon regulat este un poligon cu unghiurile interioare și laturile congruente, iar de aici continui să faci tot felul de demonstrații. poți să observi chestia asta pentru că de acolo a plecat toată demonstrația

sper că acest răspuns ți-a fost și un fel de reminder că avem teoreme și atâtea lucruri în matematică ce o face atât de frumoasă, dar totul plecând de undeva simplu, numai noi oamenii complicăm mereu lucrurile :)