Question

Va rog rapid trebuie sa arat ca modul de abc este egal cu 1

Answer 1

Salut,

Din enunț avem că:

$a+\dfrac{1}b=b+\dfrac{1}c\Rightarrow a-b=\dfrac{1}c-\dfrac{1}b=\dfrac{b-c}{bc}, deci\ a-b=\dfrac{b-c}{bc}\ (1).$

Similar:

$b+\dfrac{1}c=c+\dfrac{1}a\Rightarrow b-c=\dfrac{1}a-\dfrac{1}c=\dfrac{c-a}{ac}, deci\ b-c=\dfrac{c-a}{ac}\ (2).$

Tot din enunț avem că:

$c+\dfrac{1}a=a+\dfrac{1}b\Rightarrow c-a=\dfrac{1}b-\dfrac{1}a=\dfrac{a-b}{ab}, deci\ c-a=\dfrac{a-b}{ab}\ (3).$

Dacă înmulțim relațiile (1), (2) și (3) membru cu membru, avem că:

$(a-b)(b-c)(c-a)=\dfrac{(a-b)(b-c)(c-a)}{a^2b^2c^2}.$

Cum a, b și c sunt diferite între ele, înseamnă că putem simplifica cu $(a-b)(b-c)(c-a)$, care nu poate deci lua valoarea 0 și obținem că:

$1=\dfrac{1}{a^2b^2c^2}\Rightarrow a^2b^2c^2=1\Leftrightarrow |abc|=1,\ ceea\ ce\ trebuia\ demonstrat.$

Ai înțeles rezolvarea ?

Green eyes.