Question

Vă rog, rezolvarea problemei:

1/109

Fie VABC o piramidă triunghiulară regulată care are înălțimea VO de 12 cm și aria bazei/aria laterală = 1/2


Calculați :

a)volumul piramidei ;

b)distanța de la punctul D la planul (VAB), dacă D€ (BC), astfel încât [BD]

congruent cu [CD];

c) sinusul unghiului diedru format de planele (VAD) și (VAB).


* în imagine sunt rezultatele.


Mulțumesc!

Answer 1

solved! sper ca se vad pozele...

Answer 2

$\it Fie\ VD - apotema\ piramidei\ (a_p).\\ \\ Vom\ nota\ latura\ bazei\ cu\ \ell.\\ \\ AD - \^{i}n\breve{a}\ell\c{\it t}ime\ \^{i}n\ \Delta\ ABC \Rightarrow AD = \dfrac{\ell\sqrt3}{2}.$

$\it OD-\ apotema\ bazei \Rightarrow OD=\dfrac{1}{3}\cdot AD=\dfrac{1}{3}\dfrac{\ell\sqrt3}{2} = \dfrac{\ell\sqrt3}{6}\\ \\ \\ \dfrac{\mathcal{A}_b}{\mathcal{A}_{\ell}}=\dfrac{1}{2} \Rightarrow \mathcal{A}_{\ell} =2\cdot\mathcal{A}_{b} \Rightarrow \dfrac{\mathcal{P}_b\cdot VD}{2} = 2\cdot\dfrac{\ell^2\sqrt3}{4} \Rightarrow VD =\dfrac{\ell^2\sqrt3}{3\ell} =\dfrac{\ell\sqrt3}{3}$

În Δ VOD, dreptunghic în O, avem OD = VD/2, deci se poate aplica reciproca teoremei unghiului de 30° și obținem: m(∡DVO) = 30° ⇒

⇒ m(∡ODV) = 60°.

$\it tg(ODV) =\dfrac{VO}{OD} = \dfrac{12}{\dfrac{\ell\sqrt3}{6}} = \dfrac{72}{\ell\sqrt3}\ \ \ \ (1)\\ \\ \\ Dar,\ tg(OVD)=tg 60^o=\sqrt3\ \ \ \ (2)\\ \\ (1),\ (2) \Rightarrow \dfrac{72}{\ell\sqrt3}=\sqrt3 \Rightarrow 72=3\ell \Rightarrow \ell = 24\ cm$

$\it \mathcal{V} = \dfrac{\mathcal{A}_b\cdot h}{3}=\dfrac{\dfrac{\ell^2\sqrt3}{4}\cdot12}{3} = \dfrac{24^2\sqrt3\cdot3}{3} = 576\sqrt3\ cm^3$

$\it b)\ VD = \dfrac{24\sqrt3}{3} = 8\sqrt3\ cm\\ \\ \\ \mathcal{V}_{VABD} = \dfrac{1}{2} \cdot\mathcal{V}_{VABC}=\dfrac{1}{2}\cdot576\sqrt3= 288\sqrt3\ cm^3\ \ \ \ (3)\\ \\ \\ Dar, \mathcal{V}_{VABD} = \dfrac{1}{3}\cdot\mathcal{A}_{VAB}\cdot d[D,\ (VAB)]\ \ \ \ (4)\\ \\ \\ (3),\ (4) \Rightarrow 288 \sqrt3= \dfrac{1}{3}\cdot\mathcal{A}_{VAB} \cdot d \Rightarrow d=\dfrac{3\cdot288\sqrt3}{\mathcal{A}_{VAB}}\ \ \ \ (5)$

$\it \mathcal{A}_{VAB} = \mathcal{A}_{VBC} = \dfrac{BC\cdot VD}{2}=\dfrac{24\cdot8\sqrt3}{2} = 96\sqrt3\ cm^2\ \ \ \ (6)\\ \\ \\ (5),\ (6) \Rightarrow d = \dfrac{3\cdot288\sqrt3}{96\sqrt3} = \dfrac{288}{32} = 9\ cm$

c) Triunghiul VAB se proiectează pe planul VAD, iar proiecția este triunghiul VAD.

Fie u - unghiul dintre planele (VAB) și VAD.

S(ΔVAB) = 96√3 cm², S(ΔVAD) = 72√3 cm².

cosu = S(ΔVAD)/S(ΔVAB) =72√3/96√3 = 3/4

sinu = √(1-9/16)=√(7/16) = √7/4.