Question

VA ROG SA MA AJUTATI !!!!
Calculeaza suma
$lg \sqrt{a} + lg \sqrt[3 \times 2]{a} + lg \sqrt[4 \times 3]{a} + ... + lg \sqrt[(n + 1) \times n]{a}$

Answer 1

$\text{Folosim urmatoarea proprietate:}\\ \log_{a^m}b^n=\dfrac{n}{m}\log_a b\\ \text{Atunci vom avea:}\\ S_2=\lg \sqrt{a}+\lg \sqrt[2\cdot 3]{a}+\ldots+\lg \sqrt[n(n+1)]{a}\\ S_2=\dfrac{1}{1\cdot 2}\lg a+\dfrac{1}{2\cdot 3}\cdot \lg a+\ldots+\dfrac{1}{n(n+1)}\lg a\\ S_2=\lg a\cdot\left( \dfrac{1}{1\cdot 2}+\dfrac{1}{2\cdot 3}+\ldots+\dfrac{1}{n(n+1)}\right)\\ S_2=\lg a\cdot \left(1-\dfrac{1}{n+1}\right)\\ \boxed{S_2=\lg a\cdot \dfrac{n}{n+1}}$