Question

Vă rog să mă ajutați!!! Cât puteți de repede! DAU COROANĂ!!!
Problema este:

Determinați numerele reale x;y ;z pentru care avem: x^2+2x+5(toate sub radical)+ Y^2-6y+18(toate sub radical)+z^2+4z+20(toate sub radical)=9

P.s. profa a zis ceva de formulele de calcul prescurtat!

Answer 1

Salut,

$Folosim\ formula\ de\ calcul\ prescurtat:\\\\a^2\pm 2\cdot a\cdot b+b^2=(a\pm b)^2\\\\\sqrt{x^2+2x+5}+\sqrt{y^2-6y+18}+\sqrt{z^2+4z+20}=\\\\=\sqrt{x^2+2\cdot x\cdot 1+1^2+2^2}+\sqrt{y^2-2\cdot y\cdot 3+3^2+3^2}+\sqrt{z^2+2\cdot z\cdot 2+2^2+4^2}=\\=\sqrt{(x+1)^2+2^2}+\sqrt{(y-3)^2+3^2}+\sqrt{(z+2)^2+4^2}=2+3+4.$

Sub fiecare radical avem un binom la pătrat, adunat cu un număr la pătrat. Știm că orice pătrat perfect este mai mare, sau egal cu 0.

Pentru ca egalitatea la care am ajuns mai sus să fie adevărată, trebuie să punem 3 condiții:

x + 1 = 0, deci x = --1 (minus 1).

y -- 3 = 0, deci y = 3.

z + 2 = 0, deci z = --2.

Dacă nu ar fi așa, valorile pătratelor ar fi mai mari decât 0, deci valorile de sub radical ar fi cu siguranță mai mari decât √2², respectiv √3² și √4², care adunate îl dau chiar pe 9 din membrul drept.

Green eyes.