Question

Va rog sa ma ajutati cu:
1. Daca n este nr. natural impar si nedivizibil cu 3, aratati ca: (n+1)(n+5) este divizibil cu 12.
2. Fie a,b,c, nr. naturale, astfel incat 7a+15b=20c. Aratati ca:
a) a+4c este divizibil cu 3
b) a+3b este divizibil cu 2

Multumesc!

Answer 1

1)
am notat dvizibilitatea cu " | "
(n+1)(n+5)|12
(n+1)|12 => stiind ca n este de forma 2n+/-1 => (n+1)|12, anlog (n+5)|12 pt (\/) n € N =>expresia (n+1)(n+5) este | cu 12
Demonstratie , inlocuim n cu 2n+/-1:
(2n)(2n+6)
4n^2 +12n
4(n^2+3n) | 12 /:4
n^2+3n | 3
n(n+3) | 3 (A)

2)
a,b,c € N
7a+15b=20c
a)

a+4c | 3
1)pt a | 3 ,a=3a,a | 3 (/\) a € N
2) pt 4c | 3 ;pt c=3 : 12 | 3( A)
pt c=6 : 24 | 3(A)
:
:
pt c=3c, c | 3 (/\) c € N
Din 1, 2 => a+4c | 3 <=> a=3a,c=3c c.c.t.d

b)

a+3b | 2
1) pt a | 2 <=> este de forma 2a(par) , a =2a | 2,(/\) a € N
2) pt 3b | 2 , analog : b=2b, 3b | 3(/\) b € N
Din 1, 2 => a+3b | 3 <=> a=2a,b=2b c.c.t.d
Se poate ca rezolvarea sa fie discutabila