Matematică, întrebare adresată de Utilizator111222, 9 ani în urmă

Vă rog să mă ajutați cu rezolvarea detaliată și corectă pentru această problemă!

Anexe:

albatran: pctulc) e criminal...am reusit cu greusa ilfac fara sa ma uit la solutia din barem...
Utilizator111222: Ok
Utilizator111222: Vă rog să îmo trimiteți ce ați putut rezolva

Răspunsuri la întrebare

Răspuns de claw
1
a) este vorba de un tetraedru regulat: acesta are toate fețele triunghiuri echilaterale. Având în vedere că triunghiurile au câte o latură comună, atunci toate muchiile tetraedrului sunt egale între ele.
Așadar AB = AC = AD = BC = CD = BD = 10.
Suma lor AB + AC + AD + BC + CD + BD = 60 cm.

b) aria totală a tetraedrului este egală cu 4 * aria unei fețe.

Aplicăm formula lui Heron pt a afla aria unui triunghi

s = semiperimetru
s = (AB + BC + AC)/2
s = 30/2
s = 15

A∆ = √s(s-AB)(s-BC)(s-AC)
A∆ = √15(15-10)(15-10)(15-10)
A∆ = √15*5*5*5
A∆ = √3 * 5⁴
A∆ = 25√3 cm²

Aria tetraedrului = 4 * 25√3 cm² = 100√3 cm² = √3 dm².

c) tetraedru regulat => ∆ACD congruent cu ∆DBC (1)
M mijlocul lui CD in ∆ ACD => AM mediana (2)
N mijlocul lui BC in ∆ DBC=> DN mediana (3)

Din 1, 2 și 3 => AM = DN   |
Știind că AP/PM = DQ/DN | =>
=> AP = DQ (4)

In triunghiul echilateral CAD, AM mediana => AM bisectoare => <MAD = 60°/2=30° (5)
In triunghiul echilateral BDC, DN mediana => DN bisectoare => <NDB = 60°/2=30° (6)
Din (5) și (6) => <MAD = <NDB = 30°(7)
In ∆ AMD, desenăm înălțimea care pleacă din P și cade perpendicular (era cam evident, totuși) pe latura AD in punctul X => < PXA = 90° (8)

In ∆ NDB, desenăm înălțimea care pleacă din Q și cade perpendicular pe latura BD in punctul Y => < QYD = 90° (9)

Din (8) și (9) => < PXA = < QYD = 90° (10)

In ∆PXA și în ∆QYD , din (4), (7) și (10) => cf. L.U.U. ∆PXA și ∆QYD triunghiuri dreptunghice congruente => PX = QY i.e. d(P, AD) = d(Q, BD) => PQ || XY (11)

X ∈ AD (12)
Y ∈ BD (13)
AD ∈ (ABD) (14)
BD ∈ (ABD) (15)

Din (12), (13), (14) și (15) => XY ∈ (ABD) ===>
P ∉ (ABD) ===>
Q ∉ (ABD) ===>
PQ || XY (11) ===>

===> PQ || (ABD).

O astfel de problemă merită cel puțin o coroniță.

Succes!
Anexe:

claw: pentru astfel de problema se merita si un tron, nu doar coroana:))
Utilizator111222: Adevărat!
Utilizator111222: Vă mulțumesc!
claw: Cu drag!:)
Alte întrebări interesante