Question

va rog sa ma ajutati.Este urgent.
Rezolvati ecuatia: tgx+ctgx=sinx+cosx

Answer 1

sinx≠0; x≠kπ
cosx≠0; x≠(2k+1)π/2
D= R\({kπ}∪(2k+1)π/2}


sinx/cosx+cosx/sinx=sinx+cosx
(sin²x+cos²x)/sinxcosx=sinx+cosx
1/sinxcosx=sinx+cosx

sinxcosx(sinx+cosx)=1
inmultim in stanga si in dreapta  cu 2
2sinxcosx(sinx+cosx)=2
sin2x(sinx+cosx)=2
dar sin2x ≤1
si sinx+cosx≤√2  *****
deci sin2x*(sinx+cosx)≤1*√2=√2<2
niciodata
sin2x(sinx+cosx)=2
deci
ecuatia nu are solutii


***** pt a afla maximul functiei f(x) =sinx+cosx  studiem derivata
f'(x)= cosx-sinx si vedem tabelulde variatie al functiei f(x) =sin x+cosx , vezi atach



altfel , mai simplu


tgx=sinx/cos x, dar  cosx≤1 deci tgx≥sinx  ∀x∈D

         ctgx=cosx/sinx , dar sinx≤1 deci ctgx≥cosx∀x∈D

atunci tgx+ctgx≥sinx+cosx∀x∈D
egalitatea ar putea avea loc doar pt cosx=sinx=1 dar in acest caz x∈∅,  sinx si cosx nu sunt simultan 1, pt ca sinx=cos (x+π/2)
deci ecuatia nu are solutii