Question

va rog sa ma ajutatu cu subpunctul b

Answer 1

De obicei, sa demonstrezi asa ceva este destul de oribil, trebuie sa faci niste puncte derivabile si sa dovedesti ca functia scade cu o anumita rata pana in aproprierea punctului 0. Dar exista o metoda mai simpla pentru acest caz
Deci functia este:
$f(x)=\frac{\sin{x}}{x}$
Stim ca aceasta functie va fi continua pe intervalul (0,pi/2) pentru ca functia sinus este continua pe acel interval, la fel si 1/x
deci f:(0,pi/2)->R este continua pe acest interval

Atunci putem defini o functie care sa o extinda pe aceasta numita g
g:[0,pi/2]->R care are urmatoarea definitie
g(x)=1 pentru x=0
g(x)=f(x) pentru x apartie (0,pi/2)
$g(x)=\frac{2}{\pi}$ pentru x=pi/2
Stim ca aceasta functie este uniform continua. De ce? pentru ca stim ca este uniform continua pe intervalul deschis (0,pi/2) si este continua si in punctele de la capete
$\lim_{x->0}g(x)=\lim_{x->0}\frac{\sin{x}}{x}=1=g(0)$
deci este continua in punctul 0, similar si pentru x=pi/2

Daca de-alungul functiei g(x) pe intervalul respectiv, gasim un delta(unitate de acoperire a ariei adica dx) si un epsilon(marja de eroare) acceptabile ca sa acoperim acel interval, inseamna ca si un subset al functiei g, adica pentru functia f, va fi integrabila.

Nu stiu daca se intelege clar, dar alternativa e mult mai complicata. Sper sa te ajute.