Question

Vă rog să-mi explicați cum să fac un astfel de exercițiu

Answer 1

Fiecare termen al sumei este de forma 

1/[k(k+3)], unde k este număr natural nenul.

1/k  -  1/(k+3) =  (k + 3 - k) / [k(k+3)]  = 3/[k(k+3)] ⇒ 

⇒1/k  -  1/(k+3) = 3·1/[k(k+3)] ⇒ 1/[k(k+3)]  = (1/3)[1/k  -  1/(k+3)]

Numitorul ultimului termen al sumei se poate scrie :

4050154 = 2011 · 2014.

Acum, suma devine:

S = (1/3)(1 -1/4+1/4-1/7+1/7 - 1/10 + ... + 1/2011 - 1/2014) =

= (1/3)(1 - 1/2014) = (1/3)·(2013/2014) = 671/2014.

b) 2014 · S = 2014 ·(671/2014) = 671 = 11·61

Mulțimea divizorilor lui 671  este egală cu {1, 11, 61, 671}

Answer 2

1/(4x4^0)=1/4
1(7x4)=1/28
1/(10x7)=1/70
1/(13x10)=1/130
1/(16x13)=1/208
1/(19x16)=1/304
.......................
1/2011x2008=1/4038088
1/(2014x2011)=1/4050154


1/4x1=(1/1 -1/4)/3
1/7x4=(1/4 - 1/7)/3
1/10x7=(1/7-1/10)/3
1/13x10=(1/10 - 1/13)/3
1/16x13=(1/13 - 1/16)/3
1/19x16=(1/16 - 1/19)/3

......................................
1/2011x2008=(1/2008 - 1/2011)/3
1/2014x2011=(1/2011-1/2014)/3

adunam si obtinem
S=(1-1/2014)/3
S=(2013/2014)/3
S=671/2014

S x 2104=671
=11x61
671 are (1+1)(1+1)=4 divizori naturali
D671=1, 11, 61, 671