Question

Vă rog , stie cineva sa rezolve ex. urmator?
Arătați că fracția (10 ^2017 -1)/n(n+4)(n+11) este reductibila

Answer 1

   
[tex]\displaystyle\\ \text{Stim ca din oricare 3 numere consecutive, unul este divizibil cu 3.}\\ \text{Rezulta ca produsul oricaror 3 numere consecutive este divizibil cu 3.}\\\\ n(n+4)(n+11)=\\ = n[(n+1)+3][(n+2)+9] =\\ = n[(n+1)(n+2)+3(n+2)+9(n+1)+27]=\\ = n(n+1)(n+2)+3n(n+2)+9n(n+1)+27n\\\\ n(n+1)(n+2)~\vdots~\text{deoarece sunt 3 numere consecutive}\\ 3n(n+2)~\vdots~3\\ 9n(n+1)~\vdots~3\\ 27n~\vdots~3\\ \Longrightarrow~~\boxed{\bf n(n+4)(n+11)~\vdots~3}~\text{\bf pentru oricare }~\bf n\in N[/tex]


[tex]\displaystyle\\ 10^{2017} = 1\underbrace{0000000...00000}_{2017 \text{ \bf zerouri}}\\\\ 10^{2017}-1=1\underbrace{0000000...00000}_{2017\text{ \bf zerouri}}-1 = \underbrace{9999999...99999}_{2017\text{ \bf cifre de 9}}\\\\\\ 9999999...99999~\vdots~3\\ \Longrightarrow~~\boxed{\bf(10 ^{2017}-1)~\vdots~3} \\\\ \Longrightarrow~~\frac{10^{2017}-1}{n(n+4)(n+11)}~~\text{se poate simplifica cu 3.}\\\\ \Longrightarrow~~\boxed{\bf\frac{10 ^{2017} -1}{n(n+4)(n+11)}~~\text{\bf este reductibila.}}[/tex]