Question

Va rog vreau exercitiul următor.Rezolvarea sa fie cu inductia matematica si sa cuprinda:
Verificarea
Demonstratia (pk)-> p (k+1) si Concluzia!!!

Answer 1

1.Verificam pt n=1
16+4-2=18 divizibil cu 9

2 [presupunem adevarat pt n=k
16^k+4^k-2 divizibil cu 9
16^k-1+4^k-1 divizibil cu 9
(4^k-1) (4^k+1) + (4^k-1) divizibil cu 9
(4^k-1)(4^k+1+1) divizibil cu 9
(4^k-1) (4^k+2) divizibil cu 9 consideram adevarat

ciu notatia 4^k=a
(a-1)(a+2)=a²+a-2 divizibil cu 9 daca a=4^k
 pt k->k+1 rel;atia devine
 ( 4*4^k-1)(4*4^k+2)=(4a-1)(4a+2)=16a²+4a-2=

separam in 2 sume [pt a pubne in evidenta Pk,
a²+a-2+15a²+3a=
=(a²+a-2) +3a(5a+1)
dar a²+a-2 este divizibil cu 9, am verificat pt k=1 si am presupuis adevarat pt k=k
ramane de aratat ca
3a(5a+1)=3*4^k*(5*4^k+1)  este divizibil cu 9
 sau ca 5a+1= 5*4^k+1 este divizibil cu 3

ramanede arata ca 5*4^k+1 divizibil cu 3
verificam pt k=1
5*4+1=21 divizibil cu 3
 presupunem ca este  adevarat pt k=k
k->k=1
5*4*4^k+1=5 * (1+3)*4^k+1= (5 *4^k +1) +5*3*4^k divizibie cu 3 pt ca primul  termen,  paranteza, e divizibil cu 3 (am presupus adevarat si am verificat pt k=1) iar al doilea termen, avand ca factor pe 3, este de asemenea e divizibil cu 3
deci Pk->Pk+1 adica 5*4^k+1 divizibil cu 3 ∀k∈N
 atunci si 3a(5a+1)=3*4^k (5*4^k+1) divizibil cu 3*3=9
cum a²+a-2 este divizibil cu 9, inseamna ca si suma 
(a²+a-2) +3a(5a+1)=16a²+4a-2 este divizibila cu 9