Question

Va rogg din suflet
Exercițiul 8

Answer 1

Prima e o demonstratie mai scurta, pe baza definitiei, desi nu cred ca pe asta o vrea profesorul :)

Def.
Se numeste nr. irational ori ce nr. care poate fi scris sub forma de fractie zecimala infinita si neperiodica.
Deci: radical din 2 este aproximativ egal cu 1, 414213... si acest nr. este o fractie zecimala infinita si neperiodica.

Se aplica la fel si pebtru celelalte subpuncte.

A doua demonstratie:

Presupui ca radical din 2 apartine nr rationale
=> oricare m, n apartin lui Z, n diferit de 0;
(m, n)=1 adica sunt prime intre ele astfel incat
$\sqrt{2} = \frac{m}{n}$
(fractie ireductibila)
=> 2=(m/n)^2
=> m^2 = 2n^2
=> m^2 este divizibil cu 2
=> m este divizibil cu 2
=> m=2p; p apartine lui Z
=> m^2=(2p)^2
=> m^2 = 4p^2
=> 2n^2 = 4p^2
se simplifica cu 2
=> n^2=2p^2
=> n^2 este divizibil prin 2
=> n este divizibil prin 2
=> (m, n) nu sunt prime intre ele, ceea ce este absurd
=> presupunerea este falsa
=> radical din 2 nu apartine nr. rationale, adica este nr. irational

Se poate aplica si pentru celelalte subpuncte. Sper ca te-am ajutat :)