Question

va rogg Sa se determine a>0 pentru care f : [a, +infinit) -> R , f(x) = x^2+2x este injectiva.

Answer 1

Functia de gradul II, definita pe toata axa reala, nu e injectiva deoarece e si crescatoare si descrescatoare, ea isi repeta valorile in puncte cu abscisele simetrice fata de abscisa varfului, excuzand cel putin o jumatate din domeniu de definitie pastrand cel mult domeniu (-∞; -b/(2a)] sau [-b/(2a),∞), functia devine injectiva. In cazul de fata avem x∈[a;∞), varful trebuie sa fie in stanga lui a, pentru a avea numai monotonie crescatoare care va asigura injectivitatea functiei, deci Xv=-b/(2a)=-1<a, se da a>0, intersectia e a∈[0;∞), valori ale lui a, pentru care f e injectiva.

Answer 2

fie o  functie e gradul 2, x²+2x:R->R
aceasta are doua domenii de injectivitate (-∞;-b/2a] si [-b/2a,∞) unde a si b siunt coeficientii lui x² si, respectiv, x. din expresia functiei
aici este vorba de restrictia functiei la  al doilea domeniu
numarul -b/2a ( alt a) ,  este cel obtinut prin impartirea coeficientului lui x  cu semn schimbat ( -b , adica)  la de doua ori coeficientu lui x² ( 2a, adica)= -2/2*1=-1



cum x²+2x este injectiva pe [-1,∞) dar noua ni se restrictioneaz pe [a,∞), 
unde a>0
functia este injectiva si pe [0,∞)
Cum a>0, deci a≠0,  Nu exista un cel mai mic a strict pozitiv, asa cum nu exista un cel mai mare

Un raspuns la limita, admitand corect textul problemei, este ORICARE a>0
 functia este injectiva pe [a,∞)