Question

va roggg, dau coroana, macar un exercițiu, va implorrrr​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

1) a

1/x derivat este -1/x^2

lnx derivat=1/x

5 derivat este 0

avem aducand la acelasi numitor:

f(x)=-4/x^2+1/x=(x-4)/x^2

b) intervalele de monotonie este :

unde prima derivata este pozitiva functia este crescatoare si unde este negativa este descrescatoare

semnul derivatei este semnul numaratorului;numitorul este pozitiv intotdeaunapt.x>=4 este crescatoare functia

x<4 este descrescatoare

c) y=a este asimptota orizontala  la + infinit daca lim fx cand x tinde catre infinit este finita

lim fx cand x tinde catre = infinit

lim( x/4+lnx-5) cand x tinde catre infinit este=infinit+infinit -5=infinit deci nu este o valoare finita

deci nua are asimtota orizontala spre = infinit

vedem daca are asimptota oblica spre + infinit ; adica daca exista m,n finit cu m diferit de 0 ;y=mx+n

pt.oblica calculam:

m=lim fx/x cand x tinde catre + infinit

m=lim ( 4/x^2+lnx/x-5/x) cand x tinde catre infinit

lim 4/x^2 este 0 cand x tinde catre + infinit

lim lnx/x=0 cand x tinde catre infinit

lim 5/x cand x tinde catre infinit este 0 deci oblica nu are

Answer 2

$\displaystyle 2.~~f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},~f(x)=e^x+3x^2+3\\\\ a)~\int\limits^2_1\Big(f(x)-e^x-3\Big)dx=7 \\\\ \int\limits^2_1\Big(e^x+3x^2+3-e^x-3\Big)dx=\int\limits^2_13x^2dx=3 \cdot\int\limits^2_1x^2dx=3 \cdot \frac{x^3}{3} \Bigg|_1^2=\\\\=3\Bigg(\frac{2^3}{3} -\frac{1^3}{3} \Bigg)=3 \cdot \frac{8-1}{3} =7$

$\displaystyle b)~\int\limits^1_0x\Big(f(x)-3x^2\Big)dx=\frac{5}{2} \\\\ \int\limits^1_0x\Big(e^x+3x^2+3-3x^2\Big)dx=\int\limits^1_0x\Big(e^x+3\Big)dx=\int\limits^1_0\Big(xe^x+3x\Big)dx=\\\\ =\int\limits^1_0xe^xdx+3 \cdot \int\limits^1_0 xdx=\int\limits^1_0x \cdot \Big(e^x\Big)' dx +3 \cdot \int\limits^1_0xdx=\\\\=xe^x\Bigg|_0^1-\int\limits^1_0x' \cdot e^xdx+3 \cdot \frac{x^2}{2} \Bigg|_0^1=1 \cdot e^1-0 \cdot e^0-\int\limits^1_0e^xdx+3\Bigg(\frac{1^2}{2} -\frac{0^2}{2} \Bigg)=$

$\displaystyle =e-e^x\Bigg|_0^1+3 \cdot \cfrac{1}{2} =e-\Big(e^1-e^0\Big)+\frac{3}{2} =e-e+1+\frac{3}{2} =\frac{2+3}{2} =\frac{5}{2}$

$\displaystyle c)~ \int\limits^a_0\frac{1}{f(x)-f'(x)} dx=\frac{1}{6} \\\\ f'(x)=\Big(e^x+3x^2+3\Big)'=e^x+6x\\\\ \int\limits^a_0 \frac{1}{f(x)-f'(x)} dx= \int\limits^a_0\frac{1}{e^x+3x^2+3-e^x-6x} dx= \int\limits^a_0\frac{1}{3x^2-6x+3} dx=\\\\= \int\limits^a_0 \frac{1}{3\Big(x^2-2x+1\Big)} dx=\frac{1}{3} \cdot \int\limits^a_0 \frac{1}{(x-1)^2} =\frac{1}{3} \cdot \int\limits^a_0 (x-1)^{-2}dx=$

$\displaystyle =\frac{1}{3} \cdot \Bigg(-\frac{1}{x-1} \Bigg)\Bigg|_0^a=\frac{1}{3} \cdot \Bigg(-\frac{1}{a-1}+\frac{1}{0-1}\Bigg)=\frac{1}{3} \cdot \Bigg(-\frac{1}{a-1} -1\Bigg) =\\\\=\frac{1}{3}\cdot\Bigg( \frac{-1-a+1}{a-1} \Bigg)=-\frac{a}{3(a-1)}$

$\displaystyle \int\limits^a_0 \frac{1}{f(x)-f'(x)} dx=\frac{1}{6} \Rightarrow -\frac{a}{3(a-1)} =\frac{1}{6} \Rightarrow -6a=3(a-1)\Rightarrow \\\\ \Rightarrow -6a=3a-3 \Rightarrow -6a-3a=-3 \Rightarrow -9a=-3 \Rightarrow a=\frac{3}{9} \Rightarrow a=\frac{1}{3}$