Question

Va roog!
Fie n∈N*. Rezolvati in R ecuatia:
[x] + [2x] + ... + [nx] = n(n+1)/2 Va roooog!!!

Answer 1

Pentru rezolvare, trebuie să știm că $1+2+3+...+n = \frac{n(n+1)}{2}$

$[x] = [x] \geq [x] \\~ [2x] = [x+x] \geq [x] +[x] \\~ [3x] = [2x+x] \geq [2x]+[x] \geq [x]+[x]+[x]\\ ...\\~ [nx] \geq n*[x]$
Adunăm și obținem:
$[x]+[2x]+...[nx] \geq \frac{n(n+1)}{2}[x] \\ \frac{n(n+1)}{2} \geq \frac{n(n+1)}{2}[x] \\ 1 \geq [x]$[1]

Presupun $x \in (0,1)$, atunci, folosind aceeași proprietate, obținem
$[x] \ \textless \ 1 \\~ [2x] \ \textless \ 2 \\~ ...\\~ [nx] \ \textless \ n$
adunăm și avem că
$[x]+[2x]+...+[nx] \ \textless \ \frac{n(n+1)}{2}$
Ceea ce contrazice ipoteza. [2]

Presupun x< 0, obținem [x] < 0 și $[x]+[2x]+...+[nx] \ \textless \ 0$, dar $\frac{n(n+1)}{2} \ \textgreater \ 0$. Contradicție cu ipoteza.[3]

Din [1],[2] și [3], obținem [x] = 1.