Question

VA ROOG mult
㏒₃a + log₃b=2log₃(2a-b)
aflati a/b=?

Answer 1

$log_{3}(ab) = log_{3}( {(2a - b)}^{2} ) \\ ab = {(2a - b)}^{2} \\ ab = 4 {a}^{2} - 4ab + {b}^{2} \\ 4 {a}^{2} - 5ab + {b}^{2} = 0 \: impartim \: prin \: {b}^{2} \\ 4 { (\frac{a}{b}) }^{2} - 5 \frac{a}{b} + 1 = 0 \: notam \: \frac{a}{b} \: cu \: t \\ 4 {t}^{2} - 5t + 1 = 0 \\ x = 4 \: \: \: y = -5 \: \: \: z = 1 \\ delta = {y}^{2} - 4xz \\ delta = 9 \\ t = \frac{ -y - \sqrt{delta} }{2x} = > t = \frac{1}{4} \\ t = \frac{ - y + \sqrt{delta} }{2x} = > t = 1 \\ = > \frac{a}{b} = \frac{1}{4} \: \: sau \: \frac{a}{b } = 1$

Answer 2

Ecuația există pentru a > 0,  b > 0, 2a > b.

2a > b ⇒ a > b/2 ⇒ a/b > 1/2      (1)

$\it log_3 a + log_3b = 2log_3(2a-b) \Rightarrow log_3 ab = log_3(2a-b)^2 \ \ \ \ (2)$

Deoarece funcția logaritmică este injectivă, relația (2)  devine:

$\it ab = (2a-b)^2 \ \ \ \ (3)$

Notăm a/b = k ⇒ a = bk  și ecuația (3) devine :


[tex]\it bk\cdot b = (2bk-b)^2 \Leftrightarrow b^2k = [b(2k-1)]^2 \Leftrightarrow b^2k = b^2(2k-1)^2|_{:b^2} \Leftrightarrow \\ \\ \\ \Leftrightarrow k = (2k-1)^2 \Leftrightarrow k = 4k^2-4k+1 \Leftrightarrow4k^2-5k+1=0 \Leftrightarrow \\ \\ \\ \Leftrightarrow 4k^2-4k-k+1=0 \Leftrightarrow 4k(k-1) -(k-1) =0 \Leftrightarrow [/tex]


[tex]\it \Leftrightarrow (k-1)(4k-1)=0 \Leftrightarrow \begin{cases}\it k-1=0 \Rightarrow k = 1 \\ \\ \it 4k-1= 0 \Rightarrow k = \dfrac{1}{4} \ \textless \ \dfrac{1}{2} \ (nu\ convine)\end{cases}[/tex]

Așadar, avem soluția unică:    a/b = 1.