Question

VA ROOOG!!! Cum sa demonstrez aceasta ingalitate? Cred ca se face cu inegalitatea mediilor dar nu stiu sigur!! Dau coroana si totttt!!!​

Answer 1

Salut,

Scriem pe dos inegalitatea dintre media geometrică și cea artitmetică pentru numerele n și n + 1:

$\sqrt{n(n+1)}\leq\dfrac{n+n+1}2,\ sau \sqrt{n(n+1)}\leq n+\dfrac{1}2.$

Dăm la n valori de la 1 la n, pentru inegalitatea de mai sus:

$\sqrt{2}<1+\dfrac{1}2\\\\\sqrt{6}<2+\dfrac{1}2\\...\\\sqrt{(n-1)n}<n-1+\dfrac{1}2\\\\\sqrt{n(n+1)}<n+\dfrac{1}2.\\\\Adun\breve{a}m\ toate\ aceste\ n\ inegalit\breve{a}\c{t}i,\ membru\ cu\ membru:\\\\\sqrt2+\sqrt6+\ldots+\sqrt{(n-1)n}+\sqrt{n(n+1)}<1+2+\ldots+n+n\cdot\dfrac{1}2,\ sau\\\\\sqrt2+\sqrt6+\ldots+\sqrt{(n-1)n}+\sqrt{n(n+1)}<\dfrac{n(n+1)}2+\dfrac{n}2,\ sau\\\\\sqrt2+\sqrt6+\ldots+\sqrt{(n-1)n}+\sqrt{n(n+1)}<\dfrac{n(n+2)}2.$

Ceea ce trebuia demonstrat.

Ai înțeles ?

Green eyes.