Question

vaa rog mult dau 45 puncte​

Answer 1

Răspuns:

A = {-2, -1, 0, 4}.

Explicație pas cu pas:

Sa verificam mai intai daca 4 ∈ A:

7n+14 / 3n+2 =

6n+4+n+10 / 3n+2 =

6n+4 / 3n+2 + n+10 / 3n+2 =

2(3n+2)/ 3n+2 + n+10 / 3n+2 =

2 + n+10 / 3n+2, asa arata termenul general al elementelor multimii A.

Ca sa avem 4 printre elementele multimii A, trebuie sa avem

n+10 / 3n+2 ∈ Z, pentru un n din Z, ceea ce se verifica pt n =4, deci

4 ∈ A.

Elementele multimii A:

n=0, ne da 14/2= 7 ∈ Z, ok

n=4, ne da 28+14 / 12+2 = 42/14 = 3 ∈ Z, ok.

n= -1, ne da 7/ -1 = -7 ∈ Z, ok.

n= -2, ne da 0/ -4 = 0 ∈ Z, ok.

Deci pana acum avem ca

A = {-2, -1, 0, 4}.

Sa cercetam daca mai exista si alte elemente ale multimii A.

Ne uitam in scrierea conditiei pentru elementele multimii A:

2 + n+10 / 3n+2 ∈ Z.

2 fiind in Z, ar trebui ca si n+10 / 3n+2 sa fie tot numar intreg, adica n+10 sa fie divizibil cu 3n+2, adica sa avem

k(n+10) = 3n+2, cu k ∈ Z si n ∈ Z,

ceea ce nu se poate realiza decat pentru valorile lui n de mai sus.

Answer 2

$\it 4\in A\ \Leftrightarrow\ \dfrac{7\cdot4+14}{3\cdot4+2}\in\mathbb{Z}\ \Leftrightarrow\ \dfrac{42}{14}\in\mathbb{Z}\ \Leftrightarrow\ 3\in\mathbb{Z}\ (Adev\breve arat)$

$\it \dfrac{7n+14}{3n+2}\in\mathbb{Z} \Rightarrow 3n+2|7n+14 \Rightarrow 3n+2|(7n+14)\cdot3 \Rightarrow 3n+2|21n+42\ \ \ \ (1)\\ \\ \\ Dar,\ 3n+2|3n+2 \Rightarrow 3n+2|(3n+2)\cdot7 \Rightarrow 3n+2|21n+14\ \ \ \ \ (2)\\ \\ \\ (1),\ (2) \Rightarrow 3n+2|21n+42-21n-14 \Rightarrow 3n+2|28 \Rightarrow 3n+2\in D_{28} \Rightarrow \\ \\ \\ 3n+2\in\{-28,\ -14,\ -7,\ -2,\ -4,\ -1,\ 1,\ 2,\ 4,\ 7,\ 14,\ 28\}|_{-2} \Rightarrow$

$\it \Rightarrow 3n\in\{-30,\ -16,\ -9,\ -4,\ -6,\ -3,\ -1,\ 0,\ 2,\ 5,\ 12,\ 26\}|_{:3}\stackrel{n\in\mathbb{Z}}{\Longrightarrow} \\ \\ \\ \Rightarrow n\in\{-10,\ -3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 4\}$