Question

Valoare produsului (sin 1+ cos 179)(sin 2+cos 178)*.....(sin 89 + cos 91)

Answer 1

   
[tex](\sin1^o+ \cos179^o)(\sin2^o+\cos178^o)\cdots(\sin89^o + \cos91^o)=?\\\\ \text{Observam ca suma celor 2 unghiuri dintr-o paranteza este constanta}\\ \text{de la o paranteza la alta si este egala cu }180^2.\\\\ 1^o+179^o =2^o +178^o=\cdots = 89^o+91^o = 180^o\\\\ \text{Printre factorii care se inmultesc vom gasi urmatorul factor:}\\\\ [/tex]

[tex](\sin45^o+ \cos135^o)~\text{unde }~45 + 135 = 180^o\\\\ \text{Folosim formulele:}\\ 1)~~~ \cos(180-\alpha ) = -\cos(\alpha)\\ 2)~~~ \cos(45^o)=\sin(45^o)\\\\ \sin45^o+ \cos135^o = \sin45^o+ \cos(180 -45)^o =\\ = \sin45^o -\cos45^o = \sin45^o -\sin45^o =\boxed{\bf 0}\\\\ \text{Daca unul din factorii care se inmultesc este egal cu zero, atunci}\\ \text{tot produsul este egal cu zero.}\\\\ \Longrightarrow~~\boxed{\bf (\sin1^o+ \cos179^o)(\sin2^o+\cos178^o)\cdots(\sin89^o + \cos91^o)= 0} [/tex]